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== 傅立葉轉換定理(1) —線性(linearity) ==
也稱作重疊定理(superposition)
已知：
<math>\chi(t)\leftrightarrow\Chi(f)(\Chi_\omega(\omega))</math>
<math>y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_\omega(\omega))</math>

則對於任意實數或複數常數a，b

<math>a\chi(t)+b y(t)\leftrightarrow a\Chi(f)+b\Chi(f) (a \Chi_\omega(\omega)+ b Y_\omega(\omega))</math>

證明
<math>\Im a \chi(t)+b y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}[a\chi(t)+b y(t)] e^{-j2 \pi ft}\,dt</math>

=<math>a\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2 \pi ft}\,dt+b \int_{-\infty}^{\infty}y(t) e^{-j2 \pi ft}\,dt</math>

=<math>a\Chi(f)+b Y(f)</math>＃

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== 範例5.11 ==
試求<math>\chi(t)=B\cos 2 \pi f_0t</math>的傅立葉轉換。
解<math>\chi(t)=B\cos 2 \pi f_0t=\frac{B}{2}e^{j2 \pi f_0t}+\frac{B}{2}e^{-j2 \pi f_0t}</math>(尤拉公式)

依傅立葉轉換的線性定理知


                                       ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

<math>\Im\chi(t)=\Im\frac{B}{2}e^{j2 \pi f_0t}+ \frac{B}{2}e^{-j2 \pi f_0t}</math>

=<math>\frac{B}{2}\Im e^{j2 \pi f_0t}+ \frac{B}{2}\Im e^{-j2 \pi f_0t}</math>

=<math>\frac{B}{2}({\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)})</math> 

=<math>\frac{B}{2}({\delta(\frac{\omega-\omega_0}{2\pi})+\delta(\frac{\omega+\omega_0}{2\pi})})</math>
                                  由前面範例知
                                      <math>\Im{e^{j2 \pi f_0t}}</math>
                                        =<math>\delta(f-f_0)      </math>
                                        <math>\omega=2\pi f</math>
                                        <math>\omega_0=2\pi f_0</math>
<math>\pi B{\delta(\omega-\omega_0)+(\omega+\omega_0)}</math>

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== 範例5.12 ==
試求單位步階函數u(t)的傅立葉轉換。
【解】


                                  © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

           (1)由上圖知：<math>u(t)=\frac{1}{2}[1+\sgn(t)]</math>
             (2)已知<math>\sgn(t)\leftrightarrow\frac{1}{j\pi f}(=\frac{2}{j\omega})</math>


 (3)故<math>\Im {u(t)}=\frac{1}{2}[\Im {1}+\Im {\sgn(t)}]</math>
         <math>=\frac{1}{2}[\delta(f)+\frac{1}{j\pi f}]</math>
       <math>\frac{1}{j2\pi f}+\frac{1}{2}\delta(f)(=\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega) )</math>

                                    © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
                                                           

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== 傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling) ==
已知：<math>\chi(t)\leftrightarrow\Chi(f)   (\Chi_\omega(\omega))</math>
則：<math>\chi(at)\leftrightarrow\frac{1}{\mid a\mid}\Chi(\frac{f}{a}) (\frac{1}{\mid a\mid}\Chi_\omega(\frac{\omega}{a}) )</math>
信號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍，此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大<math>\frac{1}{a}</math>倍，同時振幅大小也縮小或放大\frac{1}{\mid1\mid}倍。訊號在時間軸壓縮<math>(a>1)</math>則其頻譜會擴張；反之，信號在時間擴張 <math>(a<1)</math>則其頻譜會壓縮。

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== 傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling) ==
【證明】(1) a>0
<math>\Im\chi(at)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(at) e^{-j2\pi ft}, dt </math>
                                                                 令<math>at=\tau</math>
<math>=\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty}\chi(\tau) e^{-j2\pi \frac{f}{a}\tau}, d\tau </math>
<math>=\frac{1}{a}\Chi(\frac{f}{a})</math>

(2) a<0
<math>\Im\chi(at)=-\frac{1}{a}\Chi(\frac{f}{a})</math>
<math>\Im\chi(at)= \frac{1}{\mid a\mid }\Chi(\frac{f}{a})</math> #

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== 範例5.13 ==
試繪出<math>\chi(t)= rect(\frac{t}{a})</math>與<math>y(t) =\chi(\frac{t}{2})=rect(\frac{t}{4})</math>之頻譜。

【解】
<math>\chi(t)=rect(\frac{t}{a})\leftrightarrow\Chi(f)=2sinc(2f)</math>
<math>y(t)=\chi(\frac{t}{2})\leftrightarrow Y(f)=2\Chi(2f)=4sinc(4f)</math>


                               © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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== 傅立葉轉換原理(3.)—時間反轉(time reversal) ==
已知：<math>\chi(t)\leftrightarrow \Chi(f)       <\Chi_\omega(\omega)</math>

則<math>\chi(-t)\leftrightarrow \Chi(-f)        <\Chi_\omega(-\omega)</math>
明顯的，此定理為時間比例調整定理的特例。

訊號在時域的時間參數 t 反轉造成在頻域的頻率參數 f 也反轉。

若<math>\chi(t)</math>為實數，則<math>\Im\chi(-t)=\Chi(-f)=\Chi^*(f)</math> 

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== 範例5.14 ==
試求<math>\chi(t)=e^{-a \mid t\mid}, a>0</math>之傅立葉轉換。
【解】(1)<math>\chi(t)=e^{-a \mid t\mid}= e^{a t}u(-t)+ e^{-a t}u(t)</math>
=<math>\chi_1(t)+\chi_2(t)</math>

其中<math>\chi_1(t)=e^{a t}u(-t)</math>
<math>\chi_2(t)=e^{-a t}u(t)</math>

明顯的，<math>\chi_2(-t)=e^{-a (-t)}u(-t)</math>
<math>= e^{a t}u(-t)=\chi_1(t)</math>

故<math>\Im\chi_1(t)=\chi_2(-t)</math>
<math>=\Chi_2(-f)</math>


(2)由前面範例可知：
<math>\Chi_2(f)=\Im\Chi_2(t)=\Im e^{-a t}u(t)=\frac{1}{a+j2\pi f}</math>
(3)<math>\Chi(f)=\Im \Chi(t)=\Im \Chi_1(t)+\Chi_2(t)</math>
                                            線性定理

  =<math>\Im \Chi_1(t)+\Chi_2(t)</math>
  =<math>\Chi_2(-f)+\Chi_2(f)</math>

  =<math>\frac{1}{a-j2\pi f}+\frac{1}{a+j2\pi f}</math>
  =<math>\frac{2a}{a^2+(2\pi f)^2}=\frac{2a}{a^2+(\omega)^2}</math>


                                   © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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== 傅立葉轉換定理(4) —乘上<math>t^n</math> ==
已知：<math>\chi(t)\leftrightarrow\Chi(f) (\Chi_\omega(\omega) )</math>

則<math>t^n\chi(t)\leftrightarrow(\frac{1}{-j2\pi} )^n \frac{d^n\Chi(f)}{d f^n}(j^n\frac{d\Chi_\omega^n(\omega)}{d\omega^n})</math>
【證明】證明n=1的情形：
                 (1)依傅立葉轉換的公式：
<math>\Chi(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>

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(2)等號兩邊對f微分

<math>\frac{d\Chi(f)}{d f} =\frac{d}{d f}\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>

=<math>\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t)[\frac{d}{d f} e^{-j2\pi ft}]\, dt</math>

=<math>\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t)-j2\pi t e^{-j2\pi ft}]\, dt</math>

=<math>(-j2\pi)\int_{-\infty}^{\infty}[t\chi(t)] e^{-j2\pi ft}]\, dt</math>

=<math>(-j2\pi)\Im t{\chi(t)}</math>

故<math>t\chi(t)\leftrightarrow\frac{1}{-j2\pi}\frac{d\Chi(f)}{d f}</math>

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== 範例5.15 ==
試求下圖x(t)的傅立葉轉換。



                               © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

【解】
       (1)<math>\chi(t)</math>=(t) rect<math> (\frac{f}{2})</math>
      (2)已知<math>\Im </math>{rect<math>(\frac{f}{2})</math>}=2sinc(2f)  (2sa(<math>\omega</math>))
      (3)故<math>\Im</math> {<math>\chi(t)</math>}=<math>\Im</math> {t rect<math> (\frac{f}{2})</math>}
        =<math>\frac{1}{-j2\pi}\frac{d}{d f}{2sinc(2f)}</math>       ((j)<math>\frac{d}{d\omega}2sa(\omega))</math>)

=j<math>\frac{2\pi f\cos(2\pi f)-\sin(2\pi f)}{2\pi^2 f^2}</math>    (j2<math>\frac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2}</math>)




                              © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

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== 傅立葉轉換定理(5) —共軛複數 ==
已知：<math>\chi(t)\leftrightarrow\Chi(f)</math><math>(\Chi_\omega(\omega) )</math>

則<math>\chi^*(t)\leftrightarrow\Chi^*(-f)</math><math>(\Chi^*_\omega(-\omega) )</math>

                       明顯的，當x(t)為實數時，<math>\chi^*(t)=\chi(t)</math>故<math>\Chi^*(-f)=\Chi(f)</math>即<math>\Chi(-f)= \Chi^*(f_0)</math>

【證明】<math>\Chi(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>
      <math>\Longleftrightarrow \Chi(-f)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{j2\pi ft}\, dt</math>
     <math>\Longleftrightarrow \Chi^*(-f)</math>=[<math>\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{j2\pi ft}\, dt</math>]*
  =<math>\int_{-\infty}^{\infty}\chi^*(t) e^{-j2\pi ft}]\, dt</math>
  =<math>\Im</math> {<math>\chi^*(t)</math>}

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== 傅立葉轉換定理(6) —對偶性(duality) ==
已知：<math>\chi(t)\leftrightarrow\Chi(f)</math>      <math>(\Chi_\omega(\omega) )</math>

則<math>\Chi(t)\leftrightarrow\chi(-f)</math>

<math>\Chi_\omega(t)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega)</math>

【證明】】<math>\chi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(f) e^{j2\pi ft}\, df</math>
      <math>\Longleftrightarrow \chi(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Chi(t) e^{-j2\pi ft}\, df</math>
                                             變數t與f互換

     <math>\Longleftrightarrow \chi^*(-f)</math>=<math>\int_{-\infty}^{\infty}\Chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>
    =<math>\Im</math> {<math>\Chi(t)</math>}
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== 範例5.16 ==
試求的傅立葉轉換。
<math>\chi_b(t)=2Wsinc(2Wt)</math>
【解】：(1)已知<math>\chi_a(t)</math>=rect(<math>\frac{t}{\tau}</math>)
<math>\leftrightarrow\Chi_a(f) =\tau</math>sinc(<math>\tau f</math>)

(2)依據對偶性知：<math>\Chi_a(t)=\tau </math>sinc(<math>\tau t</math>)<math>\leftrightarrow\chi_a(-f)</math>=rect(<math>\frac{-f}{\tau}</math>)=rect(<math>\frac{f}{\tau}</math>)rect為偶函數

(3)將上式<math>\tau</math>用2W代可得
<math>\chi_b(t)=\Chi_a(t)\mid_\tau=2W</math> <math>\leftrightarrow<math>\Chi_b(f)=\chi_a(-f)\mid_\tau=2W</math>
=2Wsinc(2Wt)                                         =rect(<math>\frac{f}{2W}</math>)



                        © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

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== 傅立葉轉換定理(7) —時移(time shift) ==
已知：

X(T)<math>\leftrightarrow</math>x(f) <math>(X_\omega(\omega))</math>

則

<math>x(t-t_0)\leftrightarrow X(f) e^{-j2 \pi ft_0} (X_\omega(\omega)e^{-j\omega t_0})</math>

訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量<math>-2 \pi ft_0</math>，此變化量稱為傅立葉轉換X(f)的線性相位平移(linear phase shift) 。



<math>\Im</math> {<math>x(t-t_0)</math>} =<math>\int_{-\infty}^{\infty} x(t-t_0)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math> =<math>(\Rightarrow</math>令<math>\tau=t-t_0 , t=\tau+t_0  \Rightarrow d\tau=dt)\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)e^{-j2 \pi f(\tau+t_0)}\, d\tau</math> =<math>e^{-j2\pi ft_0}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)e^{-j2 \pi f\tau}\, d\tau</math> =<math>e^{-j2\pi ft_0}X(f)</math>

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== 範例5.17 ==
已知<math>\Im</math> {<math>\delta(t)</math>} = 1，試求<math>\delta(t-t_0)</math> 的傅立葉轉換。

【解】

<math>\Im</math> {<math>\delta(t-t_0)</math>} =<math>e^{-j2\pi ft_0}</math><math>\Im</math> {<math>\delta(t)</math>} =<math>e^{-j2\pi ft_0} * 1</math> =<math>e^{-j2\pi ft_0}</math>

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== 範例5.18 ==
重複範例5.4，試求<math>x_b(t) = rect(t+\frac{1}{2}) - rect(t-\frac{1}{2})</math> 的傅立葉轉換。

【解】： 

(1)已知<math>rect(t)\leftrightarrow \sin c(f)</math>

(2)根據時移定理知:

<math>rect(t+\frac{-1}{2})</math><math>\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f(\frac{-1}{2})}</math> =<math>\sin c(f)e^{j\pi f}</math>

<math>rect(t-\frac{1}{2})</math><math>\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f(\frac{1}{2})}</math> =<math>\sin c(f)e^{-j\pi f}</math>

(3)故

<math>\Im</math> {<math>x_b(t)</math>} =<math>\Im</math> {<math>rect(t+\frac{1}{2})</math>} - <math>\Im</math> {<math>rect(t-\frac{1}{2})</math>} =<math>\sin c(f)[e^{j\pi f}- e^{-j\pi f}]</math> =<math>\sin c(f) 2j \sin (\pi f)</math> =<math>\sin c(f) 2j\pi f\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}</math> =<math>j2\pi f\sin c^2(f)</math>

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== 時移定理補充說明 ==
由時移定理知，對於<math>t_0</math>時間的延遲將會造成<math>2\pi ft_0</math>的相移，此一相移量與頻率 f 成正比。也就是說，針對<math>t_0</math>時間的延遲，訊號的高頻成分會有較大的相位移，而低頻部分則相移較小。

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== 傅立葉轉換定理(8) —頻移(frequency shift) ==
已知：

<math>x(t)\leftrightarrow X(f)  (X_\omega(\omega)</math>

則

<math>x(t)e^{j2\pi f_0t}\leftrightarrow X(f-f_0)</math>

<math>x(t)e^{j\omega_0t}\leftrightarrow X_\omega(\omega-\omega_0))</math>

訊號在時域乘上ㄧ複指數訊號<math>e^{j2\pi f_0t}</math>，在頻域的效果相當於訊號的頻譜在頻率軸上平移<math>f_0</math> 。

頻移定理與時移定理互為對偶定理。

【證明】

<math>\Im</math> {<math>x(t)e^{j2\pi f_0t}</math>} =<math>\int_{-\infty}^{\infty} [x(t)e^{j2\pi f_0t}]e^{-j2\pi ft}\, dt</math> ==<math>\int_{-\infty}^{\infty} [x(t)e^{-j2\pi (f-f_0)t}]\, dt</math> =<math>X(f-f_0)</math>

----

== 範例5.19—調變原理(modulation) ==
已知<math>x(t)\leftrightarrow X(f)</math> ，試求(a)<math>y_1(t) = x(t)\cos {2\pi f_0t}</math>(b)<math>y2(t) = x(t)\sin {2\pi f_0t}</math> 的傅立葉轉換。

【解】    (a)

(1)<math>y_1(t)= x(t)\cos {2\pi f_0t}</math> =<math> x(t)\frac{e^{j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}}{2} </math> =<math> \frac{1}{2}[x(t)^{j2\pi f_0t}+x(t)^{-j2\pi f_0t}]</math>

(2)<math>\Im</math> {<math>y_1(t)</math>} =<math>\frac{1}{2}[\Im</math> {<math>x(t)e^{j2\pi f_0t}</math>}+<math>\Im</math> {<math>x(t)e^{-j2\pi f_0t}</math>}] =<math>\frac{1}{2}</math> {<math>X(f-f_0)+X(f+f_0)</math>}




(b)

(1)<math>y_2(t)x(t)\sin {2\pi f_0t}</math> =<math> x(t)\frac{e^{j2\pi f_0t}-e^{j2\pi f_0t}}{2j}</math> =<math> \frac{1}{2j}[x(t)^{j2\pi f_0t}-x(t)^{-j2\pi f_0t}]</math>

(2)<math>\Im</math> {<math>y_2(t)</math>} =<math>\frac{1}{2j}</math> {<math>X(f-f_0)-X(f+f_0)</math>}

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== 範例5.20 ==
試求<math>x_1(t)</math> =<math>rect(\frac{t}{2})\cos {20\pi t}</math>的傅立葉轉換。

【解】  已知 <math>rect(\frac{t}{2})\cos 20\pi t \leftrightarrow 2\sin c(2f)</math>

故

<math>X_1(f)</math> =<math>\Im</math> {<math>x_1(t)</math>} =<math>\sin c[2(f-10)]+\sin c[2(f+10)]</math>

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== 傅立葉轉換定理(9) —旋積定理(convolution) ==
已知：

<math>x(t)\leftrightarrow X(f)  (X_\omega(\omega)</math>

<math>y(t)\leftrightarrow Y(f)  (Y_\omega(\omega)</math>

則

<math>x(t)*y(t)</math> =<math>\int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)y(t-\lambda)\, d\lambda \leftrightarrow X(f)Y(f)(X_\omega(\omega)Y_\omega(\omega))</math>

兩個訊號在時域做旋積運算相當於此二訊號在頻域相乘。

【證明】︰

(1)令<math>z(t) = x(t)*y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)y(t-\lambda)\, d\lambda \Rightarrow Z(f)</math> = <math>\Im</math> {<math>z(t)</math>} =<math> \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)y(t-\lambda)\, d\lambda ] e^{-j2\pi ft}dt</math>交換積分順序<math>\Rightarrow Z(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)[\int_{-\infty}^{\infty} y(t-\lambda)e^{-j2\pi ft}dt]\, d\lambda </math>



【證明】    

(2)根據時移定理：<math>\int_{-\infty}^{\infty} y(t-\lambda)e^{-j2\pi ft}dt = Y(f)e^{-j2\pi f\lambda}</math>

(3)故<math>Z(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)Y(f)e^{-j2\pi f\lambda}\, d\lambda = [\int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)e^{-j2\pi f\lambda}\, d\lambda ]Y(f) = X(f)Y(f)</math>

----

== 範例5.21 ==
試求方波<math>x(t) = rect(\frac{t}{\tau})</math>自己做旋積運算後的傅立葉轉換。

【解】      

(1)已知<math>rect(\frac{t}{\tau})\leftrightarrow \tau \sin c(\tau f)</math>

(2)令<math>y(t) = x(t)*x(t) = rect(\frac{t}{\tau})*rect(\frac{t}{\tau})</math>

根據旋積定理知：<math>Y(f)</math> = <math>\Im</math> {<math>y(t)</math>} = <math>\Im</math> {<math>x(t)*x(t)</math>} = <math>X(f)X(f)</math> = <math>\tau ^2 \sin c^2(\tau f)</math>

----

== 範例5.22—三角波的傅立葉轉換 ==
定義：

<math>x(t)</math> = <math>\Lambda(\frac{t}{\tau})</math><math>\equiv</math><math>\begin{cases} {1-|t|/\tau}, & {|t|<\tau} \\ 0, & other \end{cases}</math>

試求其傅立葉轉換。

【解】    

(1)根據旋積運算公式及三角波的定義知：<math>rect(\frac{t}{\tau})*rect(\frac{t}{\tau}) = \tau\Lambda(\frac{t}{\tau})</math>

(2)又由範例5.21可知：：<math>rect(\frac{t}{\tau})*rect(\frac{t}{\tau}) \leftrightarrow \tau ^2 \sin c^2(\tau f)</math>

(3)故<math>\tau \Lambda(\frac{t}{\tau}) \leftrightarrow \tau ^2 \sin c^2(\tau f) \Leftrightarrow \Lambda(\frac{t}{\tau}) \leftrightarrow \tau \sin c^2(\tau f)</math>

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== 系統的轉換函數(transfer function) ==
一線性非時變系統對輸入訊號 x(t) 的響應可表示為

其中h(t) 為系統的單位脈衝響應

將<math>y(t) = x(t)*h(t)</math>取傅立葉轉換可得：<math>Y(f) = X(f)H(f)</math>

其中<math>H(f)</math> = <math>\Im</math> {<math>h(t)</math>}

H(f)稱為系統的轉換函數(transfer function) ；或稱為系統的頻率響應(frequency response) 。

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== 傅立葉轉換定理(10) —乘積定理(multiplication) ==
已知：

<math>x(t)\leftrightarrow X(f)   (X_\omega(\omega))</math>

<math>y(t)\leftrightarrow Y(f)   (Y_\omega(\omega))</math>

則

<math>x(t)y(t)\leftrightarrow X(f)*Y(f)   (\frac{1}{2\pi} X_\omega(\omega)*Y_\omega(\omega))</math>

明顯的，乘積定理與旋積定理互為對偶定理。

【證明】︰

<math>\Im</math> {<math>x(t)y(t)</math>} = <math>\int_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t)e^{-j2\pi ft}\, dt</math> = <math>\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda)e^{j2\pi \lambda t} dt]y(t)e^{-j2\pi ft}\, dt</math> = <math>\int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda)[\int_{-\infty}^{\infty} y(t)e^{-j2\pi (f-\lambda)t} dt]d\lambda</math> = <math>\int_{-\infty}^{\infty} X(\lambda)Y(f-\lambda) d\lambda</math> = <math>X(f)*Y(f)</math>

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== 範例5.23 ==
試求餘弦脈波函數(cosinusoidal pulse)

<math>x(t) = Arect(\frac{t}{\tau})\cos {2\pi f_0t}</math>

的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知<math>Arect(\frac{t}{\tau})\leftrightarrow A\tau \sin c(\tau f)</math>
<math>\cos (2\pi f_0t)\leftrightarrow \frac{1}{2}</math> {<math>\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)</math>}

(2)依據乘積定理可知：

<math>X(f)</math> = <math>\Im</math> {<math>x(t)</math>} = <math>\Im</math> {<math>Arect(frac{t}{\tau})</math>} * <math>\Im</math> {<math>\cos (2\pi f_0t)</math>} = <math>A\tau \sin c(\tau f)</math> * <math>\frac{1}{2}</math> {<math>\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)</math>}<math>(\Rightarrow f(x)* \delta (x\pm x_0) = f(x\pm x_0)</math> = <math>\frac{A\tau}{2}</math> {<math>\sin c[\tau (f-f_0)] + \sin c[\tau (f+f_0)]</math>}



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== 傅立葉轉換定理(11) —時域微分(time-domain differentiation) ==
已知：

<math>x(t)\leftrightarrow X(f)   (X_\omega(\omega))</math>

若 x(t) 可微分，則

<math>\frac{d^n x(t)}{dt^n}</math><math>\leftrightarrow</math><math>(j2\pi f)^n X(f)((j\omega)^n X_\omega(\omega))</math>

在時域對 x(t) 作微分相當於在頻域乘上<math>(j2\pi f)</math> 。由於<math>(j2\pi f)</math>的大小與頻率 f 成正比，故頻率越高的成分將會乘上越大的倍數。也就是說，微分的動作會對高頻有放大的效果。

時域微分定理與定理(4)乘上<math>t^n</math>定理互為對偶定理。

【證明】

(1)已知<math>x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{j2\pi ft}\, df</math>

(2)等號兩邊分別對 t 微分：<math>\frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [\int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{j2\pi ft}\, df ]</math> = <math>\int_{-\infty}^{\infty} X(f)\frac{d}{dt} (e^{j2\pi ft})\, df</math> = <math>\int_{-\infty}^{\infty} X(f)(j2\pi f)e^{j2\pi ft}\, df</math> = <math>\int_{-\infty}^{\infty} [(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}\, df</math>

【證明】

(3)故<math>\frac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow  (j2\pi f)X(f)</math>

(4)重複上述步驟可得<math>\frac{d^n x(t)}{dt^n}\leftrightarrow (j2\pi f)^n X(f)</math>

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== 傅立葉轉換定理(12) —時域積分(time-domain integration) ==
已知：<math>x(t)\leftrightarrow X(f)   (X_\omega(\omega))</math>

則

<math>\int_{-\infty}^{t} x(\lambda)\, d\lambda  \leftrightarrow  \frac{1}{j2\pi f} X(f) + X(0)\delta (0)</math>

<math>( \frac{1}{j\omega} X_\omega(\omega) + X_\omega (0) \delta (\omega) )</math>

在時域對 x(t) 作積分相當於在頻域除以<math>(j2\pi f)</math>，故積分會衰減訊號的高頻部份。

公式中，<math>X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\ ,dt</math>。 若<math>X(0) = 0</math>，則公式可簡化為：<math>\int_{-\infty}^{t} x(\lambda)\, d\lambda \leftrightarrow  \frac{1}{j2\pi f} X(f)( \frac{1}{j\omega} X_\omega(\omega))</math>

【證明】

(1)根據旋積運算的定義：<math>x(t)*u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)u(t-\lambda)\ ,d\lambda = \int_{-\infty}^{t} x(\lambda)\, d\lambda</math>

(2)<math>\Im</math> {<math>\int_{-\infty}^{t} x(\lambda)\, d\lambda </math> } = <math>\Im</math> {<math>x(t)*u(t)</math>}

【證明】︰

(3)根據旋積定理：<math>\Im</math> {<math>\int_{-\infty}^{t} x(\lambda)\, d\lambda </math> } = <math>\Im</math> {<math>x(t)*u(t)</math>} = <math>\Im</math> {<math>x(t)</math>} <math>\Im</math> {<math>u(t)</math>} = <math>X(f)[ \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2} \delta (f) ]</math> = <math>\frac{1}{j2\pi f} X(f) + \frac{1}{2} X(f)\delta (f)</math> = <math>\frac{1}{j2\pi f} X(f) + \frac{1}{2} X(0)\delta (f)</math>

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== 範例5.24 ==
試求下圖 x(t) 的傅立葉轉換。




【解法1】
(1)令<math>y(t) = \frac{dx(t)}{dt}  ,  z(t) = \frac{dy(t)}{dt}  \Rightarrow  x(t) = \int_{-\infty}^{t} y(\lambda)\, d\lambda  ,  y(t) = \int_{-\infty}^{t} z(\tau)\, d\tau</math>


(2)由上圖知：<math>z(t) = K[\delta (t+b) - \delta (t+a) - \delta (t-a) + \delta (t-b)]</math>

其中(<math>K = \frac{dx(A)}{b-a}</math>)

故

<math>Z(f)</math> = <math>\Im</math> {<math>z(t)</math>} = <math>K[e^{j2\pi fb}-e^{j2\pi fa}-e^{-j2\pi fa}+e^{-j2\pi fb}]</math> = <math>2K[\cos {2\pi fb} - \cos {2\pi fa}]</math>


(3)根據時域積分定理：

<math>y(t) = \int_{-\infty}^{t} z(\tau)\, d\tau</math>

<math>\Rightarrow Y(f) = \frac{1}{j2\pi f} Z(f) + \frac{1}{2} Z(0)\delta (f) = 2K[\frac{\cos {2\pi fb} - \cos {2\pi fa} }{j2\pi f} ]+0 = 2K[\frac{\cos {2\pi fb} - \cos {2\pi fa} }{j2\pi f} ]</math>


(4)因<math>x(t) = \int_{-\infty}^{t} y(\lambda)\, d\lambda</math>，再一次利用時域積分定理：

<math>X(f) = \frac{1}{j2\pi f} Y(f) + \frac{1}{2} Y(0)\delta (f) = 2K[\frac{\cos {2\pi fb} - \cos {2\pi fa} }{j2\pi f} ]+0</math><math>(\Rightarrow Y(0) = \int_{-\infty}^{\infty} y(t)\, dt = 0 , \cos 2\theta = 1-2\sin ^2 \theta)</math> = <math>2K\frac{(1-2\sin ^2 \pi fb)-(1-2\sin ^2 \pi fa)}{-(2\pi f)^2}</math> = <math>K\frac{\sin ^2 \pi fb-\sin ^2 \pi fa}{(\pi f)^2}</math> = K[ <math>b^2\sin c^2(fb)-a^2\sin c^2(fa)</math> ]


【解法2】   

(1)由圖可知：<math>X(t) = B\Lambda (\frac{t}{b}) - (B-A)\Lambda (\frac{t}{a})</math>

其中<math>B = \frac{Ab}{(b-a)}</math>

(2)故<math>X(f)</math> = <math>\Im</math> {<math>x(t)</math>} = B<math>\Im</math> {<math>\Lambda (\frac{t}{b})</math>} - <math>(B-A)</math><math>\Im</math> {<math>\Lambda (\frac{t}{a}</math>} = <math>Bb\sin c^2 (bf) - (B-A)a\sin c^2 (af)</math>