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|G1=Communication
|G2=Math
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== 奇異函數訊號 ==
常用之奇異函數訊號(singularity function signal)包括：
                  (1)單位步階函數(unit step function)

                (2)單位脈衝函數(unit impulse function)









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== 單位步階函數 ==
單位步階函數定義為：
<math>\begin{cases} 1,t>0 \\0,t<0   \end{cases}</math>





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== 單位脈衝函數 ==
單位脈衝函數定義為：
<math>\delta(t)=\begin{cases} \infty,t=0 \\0,t \neq 0  \end{cases}</math>

                  <math>\int_{-\alpha}^{\beta} \delta(t)  \, dt</math> = 1  ,  <math>\alpha </math> 、 <math>\beta</math>  為任意正數





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== 單位脈衝函數（續） ==
原始單位脈衝函數之物理意義：
<math>\delta \epsilon(t)  </math> = <math> \begin{cases} \frac{1}{\epsilon} , \mid t \mid < \frac{\epsilon}{2} \\ 0 , else \end{cases}</math>

                        <math>\delta (t) = \lim_{\epsilon \to 0 }\delta \epsilon(t) </math>






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== 單位脈衝函數（續） ==
除了方波  <math>\delta \epsilon (t)</math>    外，也可用其他訊號來近似   <math>\delta (t)</math>      。


例如：三角脈波(triangular pulse) 、指數脈波(exponential pulse) 、高斯常態脈波(Gaussian pulse)等。




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== 單位脈衝訊號在積分式之運算 ==
<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t)\, dt</math> = <math>\lim_{\epsilon \to \ 0}f(\frac{-\epsilon}{2})</math><math>\frac{1}{\epsilon}\epsilon</math> = <math>\lim_{\epsilon \to \ 0}f(\frac{\epsilon}{2})\epsilon </math> = f(0)


<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-to)dt</math> = f ( to )





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== 範例2.3 ==
(i)<math>\int_{ -\infty }^{\infty} cos(6\pi t) \delta(t)  dt</math> = cos(0) = 1

(ii)<math>\int_{0}^{\infty} cos(6\pi t) \delta(t-0.5)  dt</math> = cos(3<math>\pi</math>) = -1

(iii)<math>\int_{-\infty }^{\infty } e^{-3t}\ \delta(t-2) dt</math> = <math>e^{-6}</math>

(iv))<math>\int_{3}^{\infty } e^{-3t}\ \delta(t-2) dt</math> = 0   ，  [因為<math>\delta(t-2)</math>在積分範圍外]





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== 單位脈衝函數與單位步階函數的關係 ==
<math>\bullet\delta(t) = \frac{d}{dt} u(t) </math>

<math>\bullet u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\lambda)\, d\lambda </math>







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