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{{noteTA
|G1=Communication
|G2=Math
}}

== '''旋積運算特性''' ==

 ●交換律(commutative)  <math>\mathbf f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)</math>

【證明】： <math>f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\lambda)f_2(t-\lambda)\, d\lambda</math>

令
<math>t-\lambda=x \Rightarrow dx=-d\lambda </math>

<math>=-\int_{\infty}^{-\infty} f_1(t-x)f_2(x)\, dx</math>

<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f_2(x)f_1(t-x)\, dx</math>

<math>\mathbf =f_2(t)*f_1(t)</math>

 ●結合律(associative)

<math>\mathbf f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)</math>

 ●分配律(distributive)

<math>\mathbf f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)</math>

 ●位移特性(shift property) 

令
<math>\mathbf f_1(t)*f_2(t)=c(t)</math>

則
<math>\mathbf f_1(t)*f_2(t-T)=c(t-T)</math>

<math>\mathbf f_1(t-T)*f_2(t)=c(t-T)</math>

<math>\mathbf f_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=c(t-T_1-T_2)</math>


 【證明】
    
 (1)已知

<math>f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\lambda)f_2(t-\lambda)\, d\lambda=c(t)</math>
<math>\Rightarrow f_1(t)*f_2(t-T)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\lambda)f_2(t-T-\lambda)\, d\lambda=c(t-T)</math>

 (2)由(1)與交換律可得

<math>\mathbf f_1(t-T)*f_2(t)=c(t-T)</math>

 (3)由(1)與(2)可得

<math>\mathbf f_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=c(t-T_1-T_2)</math>


 

 ●微分特性(Derivative Property)

<math>{d \over dt}[f_1(t)*f_2(t)]={df_1(t) \over dt}*f_2(t)=f_1(t)*{df_2(t) \over dt}</math>

 【證明】

 (1)

<math>{d \over dt}[f_1(t)*f_2(t)]={d \over dt}[\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\lambda)f_2(t-\lambda)\, d\lambda]</math>

<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\lambda)[{d \over dt}f_2(t-\lambda)]\, d\lambda</math>

<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\lambda)[{df_2(t\lambda) \over d(t-\lambda)}]\, d\lambda</math>

<math>=f_1(t)*{df_2(t) \over dt}</math>

 (2)由(1)與交換律可得

<math>{d \over dt}[f_1(t)*f_2(t)]={df_1(t) \over dt}*f_2(t)</math>


 【推論】

<math>{d^2 \over dt^2}[f_1(t)*f_2(t)]=\left[ \frac{df_1(t)}{dt} \right]*\left[ \frac{df_2(t)}{dt} \right]</math>




 ●積分特性(Integration Property) 

令  <math>Int(f(t))=\int_{-\infty}^{t} f(\lambda)\, d\lambda</math>

則  <math>\mathbf Int(f_1*f_2)=Int(f_1)*f_2=f_1*Int(f_2)</math>



 ●與脈衝函數作旋積運算  


<math>\mathbf f(t)*\delta(t)=f(t)</math>

<math>\mathbf f(t)*\delta(t-T)=f(t-T)</math>

 【證明】

<math>f(t)*\delta(t)=\delta(t)*f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\lambda)f(t-\lambda)\, d\lambda</math>

因為<math>\lambda \ne 0</math>  <math>\mathbf \delta(\lambda)=0</math>

<math>=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\lambda)f(t)\, d\lambda</math>

<math>=f(t)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\lambda)\, d\lambda</math>

<math>\mathbf =f(t)</math>



 ●寬度特性 :

假設<math>\mathbf f_1(t)</math>與<math>\mathbf f_2(t)</math> 的寬度分別是<math>\mathbf T_1</math>及<math>\mathbf T_2</math>，則<math>\mathbf f_1(t)*f_2(t)</math>的寬度為<math>\mathbf T_1+T_2</math>



© B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.



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== '''旋積公式''' ==


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== '''線性非時變系統的特性''' ==

 ●LTI系統的交換性


(a) 連續時間LTI系統1
(b) 連續時間LTI系統2

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

 ●上圖中<math>\mathbf y_1(t)=y_2(t)</math>



 ●連續時間LTI系統的串聯架構

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

 ●<math>\mathbf h(t)=h_1(t)*h_2(t)</math>



 ●連續時間LTI系統的並聯架構

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

 ●<math>\mathbf h(t)=h_1(t)+h_2(t)</math>




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== '''範例3.20''' ==


 假定4個連續時間LTI系統的脈衝響應分別是<math>\mathbf h_1(t)</math>、<math>\mathbf h_2(t)</math>、<math>\mathbf h_3(t)</math>與<math>\mathbf h_4(t)</math>，以此4個次系統合成一個新系統，其架構如圖3-5所示，利用前述旋積運算特性及系統分析，此新系統的脈衝響應可表示成： 


<math>\mathbf h(t)=[h_1(t)+h_2(t)]*h_3(t)+h_4(t)</math>


©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。




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== '''無記憶特性''' ==


 ●一系統的輸出訊號只與同一時間的輸入訊號有關，此種系統稱為無記憶系統；反之，若輸出訊號與其他時間的輸入訊號有關，此系統即稱為記憶系統。 


 ●一連續時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入訊號為<math>\mathbf \delta (t)</math>，若此連續時間LTI系統不具記憶特性，那麼一定要符合以下條件： 

<math>\mathbf h(t)=0</math>，<math>\mathbf t \ne 0</math>

 因為輸入訊號表示只在t = 0時有訊號，加上線性特性的條件，一連續時間無記憶連續時間LTI系統的脈衝響應可寫成：

<math>\mathbf h(t)=k\delta(t)</math>，k為常數

 ●此無記憶系統的輸入為任意訊號所得到的輸出訊號：


<math>y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)k\delta (t-\tau)\, d\tau =kx(t)</math>


 ●以上分析可知，若一連續時間LTI系統不具記憶特性時，系統的輸出入關係為<math>\mathbf y(t)=kx(t)</math>或其脈衝響應為<math>\mathbf h(t)=k\delta(t)</math>。顯然輸出入關係<math>\mathbf y(t)=kx(t)</math>代表此系統是一個理想的放大器(<math>\mathbf k>1</math>)、緩衝器(<math>\mathbf k=1</math>)、全通濾波器(<math>\mathbf k=1</math>)或衰減器(<math>\mathbf k<1</math>)。





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== '''因果特性''' ==


 ●若一系統的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號有關，此系統稱為因果系統(causal system)；反之，若輸出訊號與未來時間的輸入訊號有關，此系統即稱為非因果系統(non-causal system)。

 ●一連續時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入訊號為<math>\mathbf \delta(t)</math>，若此連續時間LTI系統具因果特性，那麼一定要符合以下條件： (因為輸入訊號<math>\mathbf \delta(t)</math>表示只在t = 0時才有訊號輸入，因此在t = 0之前不能有輸出訊號。)

<math>\mathbf h(t)=0</math>，<math>\mathbf t<0</math>

 ●一連續時間因果LTI系統的輸入為訊號<math>x(t)</math>時，其輸出訊號：

<math>y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\, d\tau =\int_{-\infty}^{t} x(\tau)h(t-\tau)\, d\tau</math>
     
其中使用到因果特性，即<math>\mathbf{h(t-\tau)=0,t-\tau<0 \Rightarrow t}<\tau</math> 

 ●又根據交換律可得：

<math>y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)x(t-\tau)\, d\tau</math>

<math>=\int_{0}^{\infty} h(\tau)x(t-\tau)\, d\tau</math>


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