查看“︁訊號與系統/濾波器”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Communication
|G2=Math
}}
== 濾波器 ==
訊號濾波(filtering)是將輸入訊號之不同頻率成份的增益做選擇性改變，甚且將某些頻率成份壓抑掉。

處理訊號濾波的系統稱為濾波器(filter) 。其實濾波器可看成一種頻率選擇器，即讓設定頻率範圍內之訊號通過(或濾除) 。
----
== 理想濾波器分析 ==
一個理想濾波器可讓某一頻帶的信號完全通過，並將其餘頻率範圍之訊號完全濾除(阻隔)，其中訊號完全通過的頻率範圍稱為通帶(passband)，而訊號完全濾除的頻率範圍稱為阻帶(stopband)。

所謂理想濾波器是理論上用來分析說明訊號濾波的效果，實際上並無法實現此濾波器。

濾波器依功能一般區分為
   低通濾波器(low-pass filter, LPF)
   高通濾波器(high-pass filter, HPF)
   帶通濾波器(band-pass filter, BPF)
   帶止濾波器(band-stop filter, BSF)
----

== 理想低通濾波器 ==
理想低通濾波器的強度響應定義為
      <math>\mid H(f)\mid =\begin{cases} 1,&\mid f\mid <f_{cut}\\0,&\mid f\mid >f_{cut} \end{cases}</math>
其中<math>f_{cut}</math>是截止頻率。

強度頻譜<math>\mid H(f)\mid </math>如下圖所示。
...........................圖..........................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

----

== 理想高通濾波器 ==
理想高通濾波器的強度響應定義為
      <math>\mid H(f)\mid =\begin{cases} 0,&\mid f\mid <f_{cut}\\1,&\mid f\mid >f_{cut} \end{cases}</math>
強度頻譜<math>\mid H(f)\mid </math>如下。
.......................圖....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

----

== 理想帶通濾波器 ==
理想帶通濾波器的強度響應定義為
     <math>\mid H(f)\mid =\begin{cases} 1,&f_1 <\mid f\mid <f_2 \\0,&otherwise\end{cases}</math>
強度頻譜<math>\mid H(f)\mid </math>如下圖所示。
......................圖....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

----

== 理想帶止濾波器 ==
理想帶止濾波器的強度響應定義為
     <math>\mid H(f)\mid =\begin{cases} 0,&f_1 <\mid f\mid <f_2 \\1,&otherwise\end{cases}</math>
強度頻譜<math>\mid H(f)\mid </math>如下圖所示。
.....................圖...................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

----

== 範例6.5 ==
給定濾波器的輸入訊號的振幅頻譜如下圖所示，請以此訊號分別輸入理想低通、高通、帶通和帶止濾波器，分別分析濾波器輸出訊號的振幅頻譜。

假設濾波器的相位響應<math>\angle H(f)</math>為零。

.............................圖.....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。


.............................圖.....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。


【解】濾波器的輸出訊號振幅頻譜<math>\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid </math>

(a)理想低通濾波器：輸入訊號高於截止頻率3000 Hz的成份被濾除，只有頻率低於3000 Hz的成份通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。


(b)理想高通濾波器：輸入訊號低於頻率3000 Hz的成份被濾除，只有頻率高於3000 Hz的成份通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。


(c)理想帶通濾波器：輸入訊號位於2000 Hz到4000 Hz之頻帶範圍的成份通過，其餘部份被濾除。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。


(d)理想帶止濾波器：輸入訊號位於3000Hz到4000Hz之頻帶範圍的成分阻止無法通過，其餘部分可通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

----

== 範例6.6 ==
同範例6.5之濾波器，給定濾波器的輸入訊號為
      <math>\boldsymbol x(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)</math>
請分別分析濾波器輸出訊號。

【解】利用理想濾波器的物理意義，直接考量原輸入訊號的哪些頻率成份可通過或濾除，便可直接地寫出輸出訊號。
(a)理想低通濾波器：
      <math>\boldsymbol y(t)=3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)</math>
(b)理想高通濾波器：
      <math>\boldsymbol y(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)</math>
(c)理想帶通濾波器：
     <math>\boldsymbol y(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)</math>
(d)理想帶止濾波器：
      <math>\boldsymbol x(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)</math>
----
== 非理想濾波器分析 ==
一個簡單的RC電路可實現低通濾波器。試說明理想濾波器與非理想濾波器之差異。此RC電路系統之微分方程表示式為
      <math>RC{dy(t)\over dt}+y(t)=x(t)</math>
等號兩邊做傅立葉轉換，可得
      <math>j2\pi fRCY(f)+Y(f)=X(f)</math>
..........................圖..........................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

RC電路之系統的頻率響應為
      <math>H(f)={Y(f)\over X(f)}={1\over 1+j2\pi fRC}={1\over 1+jf/f_o }</math>             <math>f_0 ={1\over 2\pi RC}</math>
RC電路之強度響應與相位響應可表示成
      <math>\mid H(f)\mid =\left[ \frac{1}{1+(f/f_0 )^2} \right]^{1\over 2}</math>
     <math>\angle H(f)=-tan^{-1}{f\over f_0 }</math>
----

== RC電路所實現之低通濾波器的頻率響應 ==
..............................圖.............................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

----

== 理想與非理想濾波器之差異 ==
增益：

(1)理想濾波器在通帶的增益固定為1，表示讓通帶的輸入訊號「完全」通過，而阻帶的增益固定為0，表示將阻帶的輸入訊號「完全」濾除。

(2)非理想濾波器的增益是頻率的函數而不固定。

截止頻率：

(1)理想濾波器通帶與阻帶之間可以瞬間切換。

(2)非理想濾波器在通帶與阻帶之間無法瞬間切換，其衰減程度(增益)隨頻率連續變化，因此有過渡帶(transition band)的存在，而且阻帶的增益也無法達到0。


線性相位：理想濾波器的相位響應是頻率的線性函數，一般濾波器設計時若其輸出訊號不要有相位失真，則此濾波器須有線性的相位響應。

----