查看“︁訊號與系統/由傅立葉級數到傅立葉轉換”︁的源代码

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|G2=Math
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== 週期訊號與非週期訊號 ==
傅立葉級數表示式
<math>\phi_{T0}</math>(t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty x_ne^{jnw_0t}</math>

代表一週期為<math>\Tau_0</math>之週期訊號，其中<math>w_0=\frac{2\pi}{T_0}</math>。

當<math>x(t)</math>為一週期訊號，基本週期為<math>\Tau_0</math>，則<math>x(t)</math>可表示成傅立葉級數，即 :<math>x(t)</math>=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty x_ne^{jnw_0t}</math>   所有 '''t'''

當<math>x(t)</math>為非週期訊號時，傅立葉級數表示式<math>\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)只能表示<math>t\in[\frac{-T_0}{2}</math> ，<math>\frac{T_0}{2}</math>]範圍內之<math>x(t)</math>，即 :

<math>x(t)</math>=<math>\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)

<math>t\in[\frac{-T_0}{2}</math> ，<math>\frac{T_0}{2}</math>]

<math>x(t)</math><math>\ne</math><math>\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)

<math>t\not\in[\frac{-T_0}{2}</math> ，<math>\frac{T_0}{2}</math>]

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== 非週期訊號與傅立葉級數之關係 ==



                        © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖可知 :

<math>x(t)</math>=<math>\phi</math><math>_T</math><math>_1</math>(t)       
               
<math>t\in[\frac{-T_0}{2}</math> ，<math>\frac{T_0}{2}</math>]

<math>x(t)</math><math>\ne</math><math>\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)      

<math>t\not\in[\frac{-T_0}{2}</math> ，<math>\frac{T_0}{2}</math>]


               <math>\Rightarrow</math><math>x(t)</math>=<math>\lim_{T_0 \to \infty}x(t)=\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)             所有'''t'''

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== 週期訊號的線頻譜 ==
一週期訊號
            <math>\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty x_ne^{j2n\pi f_0t}</math>

          其中<math>f_0</math>=<math>\frac{1}{T_0}</math>


雙邊頻譜



                               © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖知，頻譜為離散型，間隔 <math>f_0</math>=<math>\frac{1}{T_0}</math>。當 <math>T_0</math>增大時，<math>f_0</math>會變小，故間隔會縮小。

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== 頻率與角頻率 ==
所謂的頻域，有人喜歡用頻率'''f'''，單位為<math>\Eta\Zeta</math>；有人喜歡用角頻率<math>\omega</math>，單位為<math>\frac{rad}{sec}</math>苦命的我們只好兩種都學囉!

<math>\omega</math>與f之關係為 : <math>\omega</math>=2<math>\pi</math>f。

在第四章中，所有公式都以<math>\omega</math>為主，因為只要用<math>\omega</math>=2<math>\pi</math>f即可容易的轉換成f；在本章中，必要時我們將兩種公式並列，讓同學清楚其差異處!

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== 非週期訊號的頻域特性 ==
非週期訊號
           <math>x(t)</math>=<math>\lim_{T_0 \to \infty}\phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)=<math>\lim_{ T_0 \to \infty}</math><math>\sum_{n=-\infty}^\infty x_ne^{j2n\pi f_0t}</math>
          <math>\rightarrow</math>其中<math>\Chi_n</math>=<math>\frac{1}{T_0}</math><math>\int_{T_0}^{}x(t)</math><math>e^{-j2n\pi f_0t}\, dt</math>

我們知道週期訊號的頻譜為離散型線頻譜；而非週期訊號必須取<math>T_0</math><math>\rightarrow</math><math>\infty</math>  
<math>\Rightarrow</math><math>f_0</math><math>\rightarrow</math>0，故變成連續型頻譜。
又

<math>\lim_{T_0 \to \infty}</math><math>\mid\Chi_n\mid</math>=<math>\lim_{T_0 \to \infty}</math><math>\mid\frac{1}{T_0}</math><math>\int_{T_0}^{}x(t)</math><math>e^{-j2n\pi f_0t}\, dt\mid</math>
<math>\le\lim_{T_0 \to \infty}</math><math>\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \mid\Chi(t)\mid dt\rightarrow</math>0

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== 週期訊號的連續型頻譜 ==
-連續型頻譜<math>\Chi_R(f)</math>可表示成：
           <math>\Chi_R(f)</math>=<math>\mid \Chi_R(f)\mid e[j\angle\Chi_R(f)]</math>

            其中<math>\mid \Chi_R(f)\mid </math>為連續型振幅密度頻譜
              <math>\angle\Chi_R(f)</math>為連續型相位頻譜
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== 連續型振幅(密度)頻譜 ==
<math>\mid \Chi_R(f)\mid </math>=<math>\sum_{n=-\infty}^ \infty \frac{\mid X_n\mid}{\triangle f}</math>'''rect'''[('''f'''-'''n'''<math>\triangle f</math>)] / <math>\triangle f</math>
其中<math>\triangle f\equiv f_0</math>=<math>\frac{1}{T_0}</math>

                          © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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== 連續型振幅(密度)頻譜(續) ==
            <math>\mid \Chi_R(f)\mid</math>為一連續型函數。
           因為採用<math>\frac{\mid X_n\mid}{\triangle f}</math>，故稱為振幅密度函數。
          <math>\lim_{T_0 \to \infty}\frac{\mid X_n\mid}{\triangle f}</math>不會趨近於0(已知<math>\lim_{T_0 \to \infty}{\mid X_n\mid}\rightarrow</math>0)。

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== 連續型相位頻譜 ==
<math>\angle\Chi_R(f)</math>=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty  \angle\Chi_n</math>'''rect'''[('''f'''-'''n'''<math>\triangle f</math>) / <math>\triangle f]</math>

     

                            © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
                           
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== 非週期訊號頻譜 ==
由於<math>x(t)</math>=<math>\lim_{T_0 \to \infty}\Phi</math><math>_T</math><math>_0</math>(t)
               故可定義非週期訊號的密度頻譜為<math>\Chi_(f)\equiv\lim_{T_0 \to \infty}\Chi_R(f)</math> 
當<math>f = n\triangle f</math>時
<math>\Chi (n\triangle f)</math> =<math>\lim_{T_0 \to \infty}\Chi_R(n\triangle f)</math>
          其中<math>\mid \Chi_R(n\triangle f)\mid</math>=<math>\mid \Chi_n\mid</math> / <math>\triangle f</math>=<math>\Tau_0\mid \Chi_n\mid</math>
                 <math>\angle\Chi_R(n\triangle f)</math>=<math>\angle\Chi_n</math>
            故<math>\Chi(n\triangle f)</math>=<math>\lim_{T_0 \to \infty}\Tau_0\mid\Chi_n\mid e(j\angle\Chi_n)</math>
          =<math>\lim_{T_0 \to \infty}\Tau_0\Chi_n</math>
          =<math>\lim_{T_0 \to \infty}</math><math>\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} e^{-j2n\pi\triangle ft}\ dt</math>

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== 非週期訊號頻譜(續) ==
<math>\Tau_0\to\infty\Rightarrow\Delta f\to 0 </math> 故對於任意頻率 <math> f </math> 均可找到一無窮大整數 <math> n </math> 使得<math>f = n\Delta f</math>
令任意頻率<math>f=n\Delta f</math>代入上式可得 <math>\Rightarrow\Chi(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \Chi(t)e^{-j 2\pi f t}\, dt</math>
我們稱<math>\Chi(f)</math>為非週期訊號<math>\Chi(t)</math>的傅立葉轉換(Fourier transform) 
                  <math>\mid\Chi(f)\mid</math> 為雙邊振幅(密度)頻譜(double-sided amplitude (density) spectrum) 
                   <math>\angle\Chi(f)</math> 為雙邊相位頻譜(double-sided  phase spectrum)

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== 傅立葉逆轉換(inverse Fourier transform) ==
由 <math>\Chi_R(f)</math> 的定義知：<math>\Chi_R(n\Delta f)</math> = <math>\frac{\mid\Chi_n\mid}{\Delta f}exp(j\angle\Chi_n)</math>
<math>\Rightarrow (\Delta f)\Chi_R(n\Delta f) = \Chi_n</math>
<math>\phi_{T0}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \Chi_n e^{j2n\pi f_0 t}</math>

<math> = \sum_{n=-\infty}^\infty \Chi_R(n\Delta f) e^{j2n\pi\Delta f t}\Delta f</math>

<math>\Chi(t) = \lim_{ T_0\to \infty}\phi_{T0}(t) = \lim_{ T_0\to \infty}\sum_{n=-\infty}^\infty \Chi_R(n\Delta f) e^{j2n\pi\Delta f t}\Delta f</math>

<math> = \int_{-\infty}^{\infty}\Chi(f) e^{j2\pi f t}\, df</math>

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== 傅立葉轉換公式(使用f)  ==
<math>\Chi(f) = \int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt\equiv\Im\begin{Bmatrix}\chi(t)\end{Bmatrix}</math>

<math>\chi(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\Chi(f) e^{j2\pi ft}\, df\equiv\Im^{-1}\begin{Bmatrix}\Chi(f)\end{Bmatrix}</math>
一般使用<math>\chi(t)\leftrightarrow\Chi(f)</math>來表示<math>\chi(t)</math>的傅立葉轉換為<math>\Chi(f)</math>，而<math>\Chi(f)</math>的傅立葉逆轉換為<math>\chi(t)</math> 。

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==  傅立葉轉換公式(使用<math>\omega</math>)  ==
用角頻率<math>\omega</math>)的公式
<math>\chi(t)</math>的傅立葉轉換
<math>\Chi_\omega(\omega)\equiv\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j\omega t}\, dt = \Chi(\frac{\omega}{2\pi})</math>

<math>\chi(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\Chi(f) e^{j2\pi f t}\, df </math>

<math>= \int_{-\infty}^{\infty}\Chi\frac{\omega}{2\pi} e^{j\omega t}\, d \frac{\omega}{2\pi}</math>

<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Chi_\omega(\omega)e^{j\omega t}\, d(\omega)</math>

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