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== '''零狀態響應(Zero-State Response)''' ==




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== '''LTI系統之重疊積分(Superposition Integral)''' ==

數學推導 : 
     (1)利用單位脈衝函數的篩選特性(sifting property) ，任意輸入
訊號<math>\mathbf x(t)</math>可表示成 :<math>\mathbf \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t- \tau)\, d\tau</math>

     (2)經由LTI系統作用後的輸出<math>\mathbf y(t)</math> 為 
<math>\mathbf T[x(t)]=T[\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)\, d\tau ]</math>

     (3)假設〝積分〞和LTI系統〝T〞的作用順序可對調，則
<math>\mathbf y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)T[\delta(t-\tau)]\, d\tau</math>

     (4)由於非時變的特性可知，<math>\mathbf T[\delta (t-\tau)]=h(t-\tau)</math>
<math>\mathbf y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\, d\tau</math>


以系統物理特性推導 :
 (1)由下圖可知，LTI系統的任意輸入訊號<math>\mathbf x(t)</math>可用單位脈波函數<math>\mathbf rect(t)</math>所形成之階梯函數(stairstep function)來近似

<math>\mathbf \hat{x}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n\triangle \lambda)rect({t-n\triangle \lambda \over \triangle \lambda})</math>

<math>=\mathbf \sum_{n=-\infty}^\infty x(n\triangle \lambda){1 \over \triangle \lambda} rect({t-n\triangle \lambda \over \triangle\lambda})\triangle\lambda</math>

           
其中  <math>\mathbf rect({t-a \over \tau})=u[t-(a-{\tau \over 2})]-u[t-(a+{\tau \over 2})]</math>

© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.


 (2)明顯地，<math>\mathbf \hat{x}(t)</math>會趨近<math>\mathbf x(t)</math>當<math>\mathbf \Delta \lambda</math>趨近為 0

 (3)<math>\mathbf \lim_{\Delta\lambda \to 0}{rect[(t-n\Delta\lambda) / \Delta\lambda] \over \Delta \lambda}=\delta(t- \lambda)</math>

注意 : 當<math>\mathbf \Delta\lambda \to 0</math>時，<math>\mathbf n\Delta\lambda</math>用<math>\mathbf \lambda</math>替代

 (4) 假設<math>\mathbf \hat{h}(t)=T[{rect(t/\Delta\lambda) \over \Delta\lambda}]</math>當<math>\mathbf \Delta\lambda \to 0</math>

<math>\mathbf \lim_{\Delta\lambda \to 0}\hat{h}(t)=\lim_{\Delta\lambda \to 0}T[{rect(t/\Delta\lambda) \over \Delta\lambda}]</math>

<math>\mathbf =T[\lim_{\Delta\lambda \to 0}{rect(t/\Delta\lambda) \over \Delta\lambda}]</math>

<math>\mathbf =T[\delta(t)]</math>

<math>\mathbf =h(t)</math>

 (5)考慮LTI系統對<math>\mathbf \hat{x}(t)</math>的響應 : 假設<math>\mathbf \hat{h}(t)=T[{rect(t/\Delta\lambda) \over \Delta\lambda}]</math>

<math>\mathbf \hat{y}(t)=T[\hat{x}(t)]</math>

<math>\mathbf =T[\sum_{n=-\infty}^\infty x(n\Delta\lambda){1 \over \Delta\lambda}rect({t-n\Delta\lambda \over \Delta\lambda})\Delta\lambda]</math>

(線性系統滿足重疊定理)

<math>\mathbf =\sum_{n=-\infty}^\infty x(n\Delta\lambda)T[{1 \over \Delta\lambda}rect({t-n\Delta\lambda \over \Delta\lambda})]\Delta\lambda</math>

(非時變特性)

<math>\mathbf \sum_{n=-\infty}^\infty x(n\Delta\lambda)\hat{h}(t-n\Delta\lambda)\Delta\lambda</math>



© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.




 (6)取<math>\mathbf \Delta\lambda \to 0</math>

<math>\mathbf \Rightarrow n\Delta\lambda \to \lambda , \hat{x}(t) \to x(t) , \hat{h}\to h(t)</math>


<math>\mathbf \lim_{\Delta\lambda \to 0}\hat{y}(t)=\lim_{\Delta\lambda \to 0}T[\hat{x}(t)]</math>

<math>\mathbf =T[\lim_{\Delta\lambda \to 0}\hat{x}(t)]</math>

<math>\mathbf =T[x(t)]</math>

<math>\mathbf =y(t)</math>



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== '''範例3.9''' ==


系統輸入為<math>\mathbf x(t)=(t+10)e^{-0.4(t+10)}u(t+10)</math>，系統之單位脈衝響應為<math>\mathbf h(t)=e^{-t}u(t)</math>，求系統輸出<math>\mathbf y(t)</math>。



© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.



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== '''範例3.10''' ==


 考慮一系統的單位脈衝響應為<math>\mathbf h(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}</math>，令輸入訊號為單位步階函數<math>\mathbf x(t)=u(t)</math>，試求系統的輸出<math>\mathbf y(t)</math>。

 【解】

<math>y(t)\mathbf =\int_{-\infty}^{\infty} u(t-\tau)h(\tau)\, d\tau</math>

<math>\mathbf =\int_{-\infty}^{t} h(\tau)\, d\tau</math>

<math>\mathbf =\int_{-\infty}^{t} {1 \over RC}e^{-\tau/RC}u(\tau)\, d\tau</math>

<math>\mathbf \int_{0}^{t} {1 \over RC}e^{-\tau/RC}\, d\tau</math>

<math>\mathbf =1-e^{-t/RC}</math>

 注意：此一輸出也稱為系統的單位步階響應(unit step response)

且  <math>\mathbf y(t)=\int_{-\infty}^{t} h(\tau)\, d\tau</math>




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== '''線性時變系統之重疊積分''' ==


 ●非時變系統之單位脈衝響應：


<math>\mathbf \delta(t) \to T \to h(t)</math>

<math>\mathbf \delta(t-\lambda) \to T \to h(t-\lambda)</math>


 ●時變系統之單位脈衝響應：


<math>\mathbf \delta(t) \to T \to h(t,0)</math>

<math>\mathbf \delta(t-\lambda) \to T \to h(t,\lambda)</math>


可知： (1)<math>\mathbf h(t,0)=h(t)</math>(2)<math>\mathbf h(t,\lambda)=0</math>   <math>\mathbf t<\lambda</math>

(假設在<math>\mathbf \delta(\lambda)</math>輸入前，系統是rest)


 ●任意輸入訊號<math>\mathbf x(t)</math>，則系統的響應(輸出)為：

<math>\mathbf y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)h(t,\lambda)\, d\lambda</math>



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