查看“︁訊號與系統/系統脈衝響應”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Communication
|G2=Math
}}

== '''系統脈衝響應(System Impulse Response)''' ==

【定義】連續時間(continuous-time)線性非時變(LTI)系統的“單位脈衝響應  (unit impulse response)”<math>\mathbf h(t)</math> ︰
 (1)系統的初始條件均為0

 (2)在時間<math>t=0</math>時，系統輸入單位脈衝函數<math>\mathbf \delta (t)</math>所得的系統響應(輸出)稱為
            單位脈衝響應。一般均用符號<math>h(t)</math>表示




© Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.


----


== '''線性非時變的特性'''==


----


== '''範例3.6''' ==

一LTI系統由底下微分方程表示 :<math>\mathbf \tau_0 {dy(t) \over dt}+y(t)=x(t)</math>試求此系統之單位脈衝響應。

 【解】當系統輸入<math>\mathbf x(t)=\delta (t)</math>時，系統輸出<math>\mathbf y(t)</math>即為系統之單位脈衝響應<math>\mathbf h(t)</math>。
 
 (1)當<math>\mathbf t>0</math>時，<math>\mathbf \delta (t)=0</math>

<math>\mathbf \Rightarrow \tau_0{dh(t) \over dt}+h(t)=0 </math>   <math>\mathbf t>0</math>

<math>\mathbf h(t)=Ae^{-{t \over \tau_0}}</math>      <math>t>0</math>   
     
 (2)當<math>\mathbf t=0</math> 時，由單位脈衝響應的定義得知，初始條件為0                   

故<math>\mathbf h(t)=0</math>        <math>\mathbf t<0</math>

 (3)對所有<math>\mathbf t</math> 

<math>\mathbf \tau_0{dh(t) \over dt}+h(t)=\tau(t)</math>   

觀察上式 : 等號右邊為一脈衝函數，等號左邊為<math>\mathbf h(t)</math>與<math>\mathbf {dh(t) \over dt}</math>。

由此可知 :<math>\mathbf h(t)</math>不含脈衝函數，(若<math>\mathbf h(t)</math>含有脈衝函數，則等號左邊會有脈衝函數的微分，而等號右邊僅有脈衝函數，方程式左右不相等，不合)且<math>\mathbf h(t)</math>的微分會產生脈衝函數(即<math>\mathbf h(t)</math>在<math>\mathbf t=0</math>的地方不連續)

 (4)將(3)中的等式左右兩邊分別取積分，積分上下限為[<math>0^-</math>，<math>0^+</math>]可得 :     
 
<math>\int_{t=0^-}^{t=0^+} \tau_0 {dh(t) \over dt}\, dt + \int_{t=0^-}^{t=0^+} h(t)\, dt =\int_{t=0^-}^{t=0^+} \delta(t)\, dt</math>

<math>\mathbf \tau [h(0^+)-h(0^-)]+0=1</math>

<math>\Rightarrow h(0^+)={1 \over \tau_0}</math>

 (5)將<math>h(0^+)={1 \over \tau_0}</math>作為初始條件，代入(1)的結果可得

<math>a={1 \over \tau_0}</math>

<math>\Rightarrow h(t)={1 \over \tau_0}e^{-{t \over \tau_0}}</math>   <math>t>0</math>

 (6)系統的單位脈衝響應

<math>h(t) = \begin{cases} 0, & {t>0} \\ {1 \over \tau_0}e^{-{t \over \tau_0}}, & t>0 \end{cases}</math>          <math>={1\over \tau_0}e^{-{t \over \tau_0}}u(t)</math>

----

== '''範例3.7''' ==

考慮如圖的RC電路。此電路的系統微分方程式即為上一例題之式子，其中<math>\tau_0=RC</math>。考慮電阻與電容的物理特性來求系統的單位脈衝響應。





© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.



【解】

 (1)在時間<math>\mathbf t=0^-</math>時，電容未充電，電位差<math>\mathbf vc(0^-)=0</math>

 (2)在<math>\mathbf t=0</math>時輸電壓<math>\mathbf \delta (t)</math>，故流經電阻的電流

<math>i(t)={\delta(t) \over R}</math>          <math>0^- \le t \le 0^+</math>

           
 (3)此電流對電容的充電量為<math>q(0^+)=\int_{0^-}^{0^+} {\delta(t) \over R}\, dt ={1 \over R}</math>

 (4)電容兩端的電壓  <math>\mathbf v_c(0^+)={1 \over RC}</math>

 (5)對於<math>t>0</math>，輸入電壓為 0，故電容所充的電量將經由電阻而放電。所以  <math>v_c(t)=Ae^{-{t \over RC}}</math>     <math>t>0</math>

 (6)由(4)知<math>v_c(0^+)={1 \over RC}</math>代入(5)可得  <math>v_c(t)={1 \over RC}e^{-{t \over RC}}</math>   <math>t>0</math>

 (7)故，系統的單位脈衝應為 <math>h(t)={1 \over RC}e^{-{t \over RC}}u(t)</math>觀察 : 範例3.6之微分方程式中，若<math>\tau = {1 \over RC}</math>，則與本例相同。



----


== '''範例3.8''' ==

求右圖LC電路的單位脈衝響應



© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.



【解】 

 (1)右圖LC電路的系統方程式為 :

<math>LC{d^2y(t) \over dt}+y(t)=x(t)</math>

 (2)對於單位脈衝輸入，此LC電路的系統方程式可改寫為 :

<math>LC{d^2h(t) \over dt^2}+h(t)=\delta (t)</math>

 (3)當<math>\mathbf t>0</math>時
 
<math>LC{d^2h(t) \over dt^2}+h(t)=0</math>  <math>\Rightarrow h(t)=(A \cos \omega_0t + B \sin \omega_0t)</math>

其中<math>\omega_0 = {1 \over \sqrt{LC}}</math>

 (4)求<math>\mathbf {d^2h(t) \over dt^2}</math>

<math>{dh(t) \over dt}=(-A \omega_0 \cos \omega_0 t+B \omega_0 \cos \omega_0 t)u(t)+(A \cos \omega_0t+B \sin \omega_0 t)</math>

<math>\mathbf =- \omega_0(A \sin \omega_0t+B \cos \omega_0t)u(t)+A \delta (t)</math>

<math>{d^2h(t) \over dt^2}=- \omega_0^2(A \cos \omega_0t+B \sin \omega_0t)u(t)- \omega_0 (A \sin \omega_0t-B \cos \omega_0t)\delta(t)+A{d \delta(t) \over dt}</math>

<math>=- \omega_0^2(A \cos \omega_0t+B \sin \omega_0t)u(t)+\omega_0B \delta(t)+A{d \delta(t) \over dt}</math>

 (5)將(2)(3)的結果代入(1)

<math>LC[-\omega_0^2(A \cos \omega_0t+B \sin \omega_0t)u(t)+\omega_0B \delta(t)+A{d \delta(t) \over dt}]+(A \cos \omega_0t+B \sin \omega_0t)u(t)=\delta(t)</math>

因為  <math>\omega_0^2={1 \over LC}</math>

<math>\Rightarrow LC[\omega_0 B \delta(t)+A{d \delta(t) \over dt}]=\delta(t)</math>

<math>\Rightarrow A=0</math>    <math>\mathbf LC \omega_0B=1</math>    <math>\Rightarrow B={1 \over \sqrt{LC}}=\omega_0</math>

(6)系統的單位脈衝響應<math>\mathbf h(t)</math>為

<math>\mathbf h(t)=\omega_0 \sin (\omega_0t)u(t)</math>