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== 線性常微分方程式描述之LTI系統的頻率響應 ==

一LTI系統可以用N 階常微分方程式來描述：
        <math>\sum_{n=0}^N a_n {d^n y(t) \over dt^n}= \sum_{m=0}^M b_m {d^m x(t) \over dt^m} , M\le N ; a_n</math>和<math>b_m</math>為常數
等式兩邊做傅立葉轉換，可得
        <math>\sum_{n=0}^N a_n (j2\pi f)^n Y(f)=\sum_{m=0}^M b_m (j2\pi f)^m X(f)</math>
       <math>\Leftrightarrow Y(f)\sum_{n=0}^N a_n (j2\pi f)^n =X(f)\sum_{m=0}^M b_m (j2\pi f)^m </math>
LTI系統的頻率響應：
        <math>H(f)={Y(f) \over X(f)}={\sum_{m=0}^M b_m (j2\pi f)^m \over  \sum_{n=0}^N a_n (j2\pi f)^n}</math>

== 範例6.3 ==

一連續時間LTI系統的輸出訊號y(t)與輸入訊號x(t)的關係為一階常微分方程
式：
       <math>{dy\over dt}+3y(t)={dx(t)\over dt}+x(t)</math>
請用傅立葉轉換求系統的頻率響應及脈衝響應。

【解】將等號兩邊做傅立葉轉換，可得
       <math>\boldsymbol j2\pi fY(f)+3Y(f)=j2\pi fX(f)+X(f)</math>
      <math>\Leftrightarrow (j2\pi f+3)Y(f)=(j2\pi f+1)X(f)</math>
系統的頻率響應：
       <math>H(f)={Y(f)\over X(f)}={j2\pi f+1\over j2\pi f+3}=1-{2\over j2\pi f+3}</math>
<math>H(f)</math>之傅立葉逆轉換，我們可得到系統的脈衝響應為
       <math>\boldsymbol h(t)=\delta (t)-2e^{-3t} u(t)</math>
----


== 範例6.4 ==

一RC串聯電路如下圖，試求此電路之轉換函數。
...........圖  © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4thed., Prentice Hall International, 1998.

【解】(1)依照電路學的分析方法，此一電路之微分方程式
       <math>RC{dy(t)\over dt}+y(t)=x(t)</math>
等號兩邊取傅立葉轉換
       <math>\boldsymbol RC(j2\pi f)Y(f)+Y(f)=X(f)</math>
      <math>\Rightarrow H(f)={Y(f)\over X(f)}={1\over 1+j2\pi fRC}</math>
(2)用第三章方法求電路的單位脈衝響應：
      <math>h(t)={1\over RC}exp(-t/RC)u(t)</math>
   故<math>H(f)=\Im [h(t)]={1\over RC}{1\over {1\over RC}+j2\pi f}={1\over 1+j2\pi fRC}</math>
(3)使用交流穩態分析方法
      <math>\vec{Y}={ {1\over j\omega C}\over R+{1\over j\omega C}} \vec {X}</math>  其中<math>\boldsymbol \omega  =2\pi f</math>
     <math>\Rightarrow H(f)={\vec {Y}\over \vec {X}}={{1\over j2\pi fC}\over R+{1\over j2\pi fC}}={1\over 1+j2\pi fRC}\color{Red}[={1\over 1+j\omega RC}]</math>
<math>x_T (t)=x(t)rect({t\over \tau })</math>為一能量訊號，其能量密度頻譜
      <math>G_{xT} (f)=\mid X_T (f)\mid ^2</math>
系統輸出訊號<math>y(t)</math>的功率密度頻譜：
      <math>S_y (f)=\lim </math>

== 系統輸出訊號的能量密度頻譜 ==
...............圖....(沒編號).........................
假設系統輸入訊號<math>x(t)</math>為能量訊號，其能量密度頻譜：
       <math>G_x (f)=\mid X(f)\mid ^2</math>
若LTI系統為BIBO穩定，則其輸出訊號<math>y(t)</math>亦為能量訊號
輸出訊號<math>y(t)</math>的能量密度頻譜為
       <math>G_y (f)=\mid Y(f)\mid ^2 =\mid X(f)\mid ^2 \mid H(f)\mid ^2 =\mid H(f)\mid ^2 G_x (f)</math>
即：輸出訊號<math>y(t)</math>能量密度頻譜為輸入訊號<math>x(t)</math>的能量密度頻譜乘上<math>\mid H(f)\mid ^2</math>
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== 系統輸出訊號的功率密度頻譜 ==
假設系統輸入訊號<math>x(t)</math>為功率訊號，其功率密度頻譜
       <math>S_x (f)=\lim_{T \to \infty}{1\over T}\mid X_T (f)\mid ^2</math> 
      其中 
       <math>X_T (f)=\Im [ x(t) rect ({ t\over T }) ]</math>

<math>X_T (t)=x(t)rect({t\over \tau })</math>為一能量訊號，其能量密度頻譜
       <math>G_{xT} (f)=\mid X_T (f)\mid ^2</math>
系統輸出訊號<math>y(t)</math>的功率密度頻譜：
       <math>S_y (f)=\lim _{T \to \infty }
{1\over T}\mid H(f)\mid ^2 G_{xT} (f)=\mid H(f)\mid ^2 \lim _{T\to \infty }{1\over T}\mid X_T (f)\mid ^2 =\mid H(f)\mid ^2 S_x (f)</math>