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|G1=Communication
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==  訊號的大小 ==


<math>\bullet</math> 訊號的大小可以用訊號的總能量(total energy)或平均功率(average power)來表示  。


<math>\bullet</math> 假設 : 負載為1歐姆電阻的訊號 <math>\boldsymbol{x(t)} </math> 。


<math>\bullet</math> 訊號的總能量

   <math>\star</math> 實數訊號 :     <math>\boldsymbol{E_x} </math>=<math>\int_{-\infty}^{+\infty}{x}  ^2(t)\, dt</math>



   <math>\star</math> 複數訊號 :     <math>\boldsymbol{E_x} </math>=<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \left| {x(t)} \right|^2dt</math>









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== 訊號的大小 ==



<math>\bullet</math> 訊號的平均功率 : 訊號的總能量除以總時間 。

   <math>\star</math> 實數訊號 :      <math>\boldsymbol{P_x}</math> = <math>\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} </math><math>\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}  ^2(t)\, dt</math>


   <math>\star</math> 複數訊號 :      <math>\boldsymbol{P_x}</math> = <math>\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} </math><math>\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| {x(t)} \right|^2dt</math>

 
<math>\bullet</math> <math>\boldsymbol{P_x}</math> 是<math>\boldsymbol{x(t)} 
</math>的均方值(meam-square value)

   <math>\Rightarrow</math> <math>\sqrt{P_x}</math> 是<math>\boldsymbol{x(t)} 
</math>的均方根值(rms,root meam-square value)






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== 範例1.1 ==



試以總能量或平均功率表示(a) . (b)兩訊號的大小 。



















                            
                                    圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.


【解】

    當 <math>\left| {t} \right|</math> <math>\to</math> <math>\infty</math> 訊號(a)的大小趨近為 <math>0</math> 。所以可用總能量來表示 :
           
           
           <math>E_x = \int_{-\infty}^{\infty}{x}  ^2(t)\, dt = \int_{-1}^{0}{2}  ^2\, dt + \int_{0}^{\infty}{4}e^{-t}\, dt = 4 + 4 = 8 </math> 





因為訊號 (b) 為週期訊號，總能量 <math>\to</math> <math>\infty</math> 故用平均功率來表示  :



 <math>P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}  ^2(t)\, dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}  ^2(t)\, dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}{x}  ^2(t)\, dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}{t}  ^2\, dt = \frac{1}{3}</math>
                          <math>\Downarrow</math>
                 
                  <nowiki>因為週期訊號同樣的波形一再重複出現，
                   故只積分一個週期即可。</nowiki>



















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== 範例1.2 ==


計算訊號  <math>\mathbf{y(t)}</math>  =  <math>Ae^{j2 \pi f_0t}</math>         的平均功率  。

【解】

     因為    <math>y(t  +  \frac{1}{f_0} ) = Ae^{j2 \pi f_0(t  +  \frac{1}{f_0} )}</math>
                       = <math>Ae^{j2 \pi f_0t}</math><math>e^{j2 \pi f_0(\frac{1}{f_0})}</math>
                      
                     = <math>Ae^{j2 \pi f_0t}</math> <math>e^{j2 \pi }</math>
      
                     = <math>Ae^{j2 \pi f_0t}</math>
     
                     = <math>\mathbf{y(t)}</math>
    
     所以是一個週期訊號 。  

      故其平均功率為 :
                  <math>{P_y} = f_0\int_{t_1}^{t_1 + (\frac{1}{f_0} )} \left|Ae^{j2 \pi f_0t} \right|^2\, dt</math>
                     
                     = <math>\boldsymbol{f_0}</math><math>\int_{t_1}^{t_1 + (\frac{1}{f_0} )}A^2 \, dt</math>
                       
                     = <math>\boldsymbol{A^2}</math>
















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