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{{noteTA
|G1=Communication
}}

== 訊號的特性 ==
 

<math>\bullet</math> 連續時間(continuous-time)訊號 V.S 離散時間(discrete-time)訊號


<math>\bullet</math> 類比(analog)訊號 V.S 數位(digital)訊號


<math>\bullet</math> 週期(periodic)訊號 V.S 非週期(aperiodic)訊號


<math>\bullet</math> 因果(causal)訊號 V.S 非因果(non causal)訊號


<math>\bullet</math> 能量(energy)訊號 V.S 功率(power)訊號


<math>\bullet</math> 定型(deterministic)訊號 V.S 隨機(random)訊號


<math>\bullet</math> 奇(odd)訊號 V.S 偶(even)訊號








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== 連續時間(continuous-time)訊號 V.S 離散時間(discrete-time)訊號 ==

<math>\bullet</math> 連續時間訊號 ：所有時間均有指定訊號的大小  。
















                    (a) 0.05秒的聲音信號             

<math>\bullet</math> 離散時間訊號 ：只在特定的離散時間點有定義訊號的大小  。


















                    (b) 2002年台年的每月平均溫度


                                    圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


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== 類比(analog)訊號 V.S 數位(digital)訊號 ==

<math>\bullet</math> 類比訊號 ：訊號的大小落在一個或幾個連續的範圍內  。
















<math>\bullet</math> 數位訊號 ：訊號的大小只有特定的 <math>\boldsymbol{m}</math> 個可能值  。
	       
        <math>\Rightarrow</math> <math>\boldsymbol{m}</math> 元( m-ary )訊號
              
           (右圖為三元 binary 訊號)














                               圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


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== 範例1.3 ==

<math>\bullet</math> 連續時間(continuous-time)訊號 vs 離散時間(discrete-time)訊號是依據訊號的時間軸特性來作分類 ；
    
    類比(analog)訊號 vs 數位(digital)訊號則由訊號大小的可能值作區別 。



































                                 (a) 連續時間類比訊號      (b) 連續時間數位訊號
                                 (c) 離散時間類比訊號      (d) 離散時間數位訊號


                                    圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.


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== 週期(periodic)訊號 V.S 非週期(aperiodic)訊號 ==

<math>\bullet</math> 週期訊號 : 存在常數   <math>\boldsymbol{T_0}</math>  ，使得所有時間 <math>\boldsymbol{t}</math> 均滿足 : 


             <math>\boldsymbol{x(t + T_0) = x(t)}</math>


<math>\bullet</math> 所有可能的  <math>\boldsymbol{T_0}</math>   值中最小且大於零者，稱為 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的基本週期(period) 。


<math>\bullet</math> 週期訊號由   <math>\boldsymbol{t}</math> =  <math>{-\infty}</math>    開始並持續至永久(      <math>\boldsymbol{t}</math> =  <math>{+\infty}</math>   ) 。 


















                                    圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


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== 範例1.4  ==

說明訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> = <math>{e^{j2 \pi f_0 t}}</math>  為週期訊號，並求其週期 。




【解】  若 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 是週期訊號，<math>\boldsymbol{x(t)}</math> 須滿足


          <math>\boldsymbol{x(t + T_0)}</math> = <math>e^{j2 \pi f_0 (t + T_0)}</math> = <math>e^{j2 \pi f_0 t}</math><math>e^{j2 \pi f_0 T_0}</math> = <math>e^{j2 \pi f_0 t}</math> = <math>\boldsymbol{x(t)}</math>    
    
     
     上式要成立，必須 <math>{e^{j2 \pi f_0 T_0}}</math> = <math>\boldsymbol{1}</math> 。




特例 :
     (i)  <math>\boldsymbol{f_0 = 0}</math> 時，任意 <math>\boldsymbol{T_0}</math> 值皆符合，但此情況無法定義最小正 <math>\boldsymbol{T_0}</math> 值，即無法找到週期或週期為 <math>{\infty} \Rightarrow</math> 直流訊號 。
      
     (ii) 若 <math>\boldsymbol{f_0 \ne 0}</math> ，當 <math>\boldsymbol{2 \pi f_0 T_0 = 2m\pi}</math> 時( <math>\boldsymbol{m}</math> 為任意整數) <math>e^{j2 \pi f_0 T_0 }</math> = <math>\boldsymbol{1}</math> ，故 <math>T_0 = \frac{m}{f_0}</math> 。
           當<math>\boldsymbol{m=1}</math> 時，有最小正 <math>\boldsymbol{T_0}</math> 值，故週期為 <math>\boldsymbol{\frac{1}{f_0}}</math> 。  
           <math>\boldsymbol{T_0 = \frac{1}{f_0}}</math> ，滿足週期訊號的條件，週期為 <math>\boldsymbol{e^{j2 m \pi}}</math> = <math>\boldsymbol{1}</math>  。　
                        







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== 因果(causal)訊號 V.S 非因果(non causal)訊號 ==

<math>\bullet</math>  因果訊號 : 
            
              <math>\boldsymbol{x(t) = 0}</math>                 ,     <math>\boldsymbol{t < 0}</math>


<math>\bullet</math>  非因果訊號 : 

              <math>\boldsymbol{x(t) \ne 0}</math>                ,      <math>\boldsymbol{t < 0}</math>


<math>\bullet</math>  反因果(anticausal)訊號 :

              <math>\boldsymbol{x(t) = 0}</math>                 ,     <math>\boldsymbol{t \ge 0}</math>









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== 能量(energy)訊號 V.S 功率(power)訊號 ==

<math>\bullet</math> 訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的總能量 <math>\boldsymbol{E_x}</math> 有定義而且為有限值，亦即 <math>\boldsymbol{0 < E_x < \infty}</math> ，此訊號稱為能量訊號 。


<math>\bullet</math> 如果訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的平均功率 <math>\boldsymbol{P_x}</math> 有定義而且為有限值，亦即 <math>\boldsymbol{0 < P_x < \infty}</math> ，此訊號則稱為功率訊號 。


<math>\bullet</math> 一般而言，週期訊號為功率訊號 。


<math>\bullet</math> 假如一訊號不符合上述能量及功率特性，則此訊號既非能量訊號也非功率訊號 。






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== 範例1.5 ==

考慮週期為 <math>\boldsymbol{T_0}</math>  的週期訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> = <math>\boldsymbol{Acos(\omega_0 t + \theta)}</math> ，其中角頻率 <math>\boldsymbol{\omega_0}</math> = <math> \frac{2\pi}{T_0} </math> ; <math>\boldsymbol{\theta}</math> 是一常數，分析此訊號為能量或功率訊號 ？




【解】 因為是週期訊號，<math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的平均功率

     <math>P_x = \frac{1}{T_0} </math><math>\int_{0}^{T_0} \left| {x(t)} \right|^2dt</math> = <math> \frac{1}{T_0} </math><math>\int_{0}^{T_0} {A^2 cos^2(\omega_0 t + \theta)} dt</math>
          
        = <math> \frac{1}{T_0} </math><math>\int_{0}^{T_0} {A^2 {\frac{1 + cos(2\omega_0 t +  2\theta)}{2}}} dt</math>
        
        = <math> \frac{1}{2T_0} </math><math>\int_{0}^{T_0} {A^2} dt</math> + <math> \frac{A^2}{2T_0} </math><math>\int_{0}^{T_0} { {{ cos(2\omega_0 t +  2\theta)}}} dt</math> = <math> \frac{A^2}{2} </math> <math>< \infty</math>
     
     
     
     
     上式第二項之弦波訊號積分整數個週期結果為 <math>\boldsymbol{0}</math> 。
      
      因為 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的平均功率值有限，此訊號為功率訊號  。






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== 範例1.6 ==

訊號 <math>x(t) = \begin{cases} e^{-at}, &  \mbox{t}\ge  \mbox{0 }    \\     {0},& \mbox{else} \end{cases}</math>     ， 其中 <math>\boldsymbol{a >0}</math>  ; 說明此訊號為能量訊號  。 




【解】  計算 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的總能量


      <math>E_x = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 (t)\, dt</math> = <math>\int_{0}^{\infty} e^{-2at}\, dt</math> = <math>\frac{-1}{2a} e^{-2at}</math> <math>|_{0}^{\infty}</math> = <math>\frac{1}{2a} < {\infty} </math>
     
     因為 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的總能量有限，此訊號為能量訊號  。






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== 範例1.7 ==

訊號 <math>x(t) = \begin{cases} {t}, &  \mbox{t}\ge  \mbox{0 }    \\     {0},& \mbox{else} \end{cases}</math>  ; 說明此訊號既非能量訊號也非功率訊號  。




【解】  計算 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的總能量
        <math>E_x = \int_{-\infty}^{\infty}{x}  ^2(t)\, dt</math> = <math>\int_{0}^{\infty}{t}  ^2\, dt</math> = <math>\frac{t^3}{3} </math> <math>|_{0}^{\infty}</math> <math>\rightarrow</math> <math>{\infty}</math>
             


     計算 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的平均功率
        
       
        <math>P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} </math><math>\int_{0}^{\frac{T}{2}}{t}  ^2\, dt</math> = <math>\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} </math><math>\frac{(\frac{T}{2})^3}{3}</math> = <math>\lim_{T \to \infty}</math><math>\frac{T^2}{24}</math> <math>\rightarrow</math> <math>{\infty}</math>
  
  
 
 由以上計算得知：<math>\boldsymbol{x(t)}</math> 的總能量與平均功率皆為 <math>\infty</math> ，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號 。






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== 定型(deterministic)訊號 V.S 隨機(random)訊號 ==


<math>\bullet</math> 定型訊號(deterministic signal) : 在任何給定時間 <math>\boldsymbol{t}</math> 其訊號大小皆為固定可知的，也就是說定型訊號可用已知的函數或圖形加以描述或表示。


<math>\bullet</math> 隨機訊號(random signal) : 有些訊號在任何時間的訊號大小是隨機而不可預知，此類訊號僅能用機率及統計特性描述。











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== 範例1.8 ==

訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math>= <math>\boldsymbol{\cos}</math> <math>\boldsymbol{(\omega_0 t + \theta)}</math> ，舉例說明 <math>\boldsymbol{\omega_0}</math> 與 <math>\boldsymbol{\theta}</math> 之特性以分析此訊號為定型訊號或隨機訊號 。


【解】

      若 <math>\boldsymbol{\omega_0}</math> 與 <math>\boldsymbol{\theta}</math> 是常數，則 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 是定型訊號(任意時間 <math>\boldsymbol{t}</math> 其函數值 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 均已是固定的值)。
      反之，若 <math>\boldsymbol{\omega_0}</math> 是常數，而<math>\boldsymbol{\theta}</math> = <math>\frac{\pi}{3} </math> 或 <math>-{\frac{\pi}{3}} </math> 的機率各半，此情況下的<math>\boldsymbol{x(t)}</math>則為隨機訊號
     (任意時間 <math>\boldsymbol{t}</math> 的函數值 <math>\boldsymbol{x(t)}</math>無法預知，因為 <math>\boldsymbol{\theta}</math> 可能是 <math>\frac{\pi}{3} </math> 或 <math>-{\frac{\pi}{3}} </math>) 。









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== 奇(odd)訊號 V.S 偶(even)訊號 ==

<math>\bullet</math> 偶訊號(even signal) : 


  <math>\boldsymbol{x(-t)}</math> = <math>\boldsymbol{x(t)}</math>






<math>\bullet</math> 奇訊號(odd signal) :



  <math>\boldsymbol{x(-t)}</math> = <math>\boldsymbol{-x(t)}</math>












                               圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


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== 奇偶訊號的特性 ==

<math>\bullet</math> 偶訊號 <math>\times</math> 奇訊號 = 奇訊號


<math>\bullet</math> 奇訊號 <math>\times</math> 奇訊號 = 偶訊號 


<math>\bullet</math> 偶訊號 <math>\times</math> 偶訊號 = 偶訊號


<math>\bullet</math> <math>\int_{-a}^{a} x_e(t)\, dt</math> = <math>2\int_{0}^{a} x_e(t)\, dt</math>          ,  ( <math>\boldsymbol{x_e(t)}</math> 是偶訊號)            


<math>\bullet</math> <math>\int_{-a}^{a} x_0(t)\, dt</math> = <math>\mathbf{0}</math>              ,  ( <math>\boldsymbol{x_0(t)}</math> 是奇訊號)







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== 訊號表示成奇訊號與偶訊號之和 ==

<math>\bullet</math> 任意訊號可以表示成一個奇訊號與偶訊號之和  。


        <math>\boldsymbol{x(t)}</math> = <math>\boldsymbol{x_e(t)}</math> + <math>\boldsymbol{x_0(t)}</math>


   其中                                                                                                                            
        
        <math>x_e(t) = \frac{1}{2}</math> <math>\left[x(t) + x(-t)\right]</math>
       
        <math>x_0(t) = \frac{1}{2}</math> <math>\left[x(t) - x(-t)\right]</math>








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== 範例1.9 ==

將訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math>=  <math>e^{-at} u(t)</math> ，表示成奇訊號與偶訊號之和 <math>\boldsymbol{x(t)}</math>=  <math>\boldsymbol{x_e(t)}</math> + <math>\boldsymbol{x_0(t)}</math> 

       其中  <math>x_e(t) = \frac{1}{2}</math> <math>\left[e^{-at} u(t) + e^{-at} u(-t)\right]</math>     ,   <math>a > 0</math>                                   <math>(even)</math>
            
            <math>x_0(t) = \frac{1}{2}</math> <math>\left[e^{-at} u(t)  -  e^{-at} u(-t)\right]</math>                                                <math>(odd)</math>
    













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== 範例1.10 ==


訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math>= <math>\boldsymbol{\cos}</math> <math>\boldsymbol{(\omega_0 t + \frac{\pi}{6})}</math> ，求其偶訊號部分與奇訊號部份 。
     
【解】         利用三角函數公式直接改寫原信號  : 
     
      <math>\boldsymbol{x(t)}</math>= <math>\boldsymbol{\cos}</math> <math>\boldsymbol{(\omega_0 t + \frac{\pi}{6})}</math> = <math>\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}</math> <math>\boldsymbol{\cos(\omega_0 t)}</math> - <math>\boldsymbol{\frac{1}{2}}</math> <math>\boldsymbol{\sin(\omega_0 t)}</math>
      
     
      
      其中弦波訊號 <math>\boldsymbol{\cos(\omega_0 t)}</math> 與 <math>\boldsymbol{\sin(\omega_0 t)}</math> 分別是偶訊號和奇訊號 。




















                                    圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


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