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== 週期訊號的傅立葉轉換－方法一 ==
已知 x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為 <math>T_0</math>，故 x(t) 的傅立葉級數為：
<math>x(t)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_ne^{j2 \pi nf_0t}</math>  ，  <math>f_0=\frac{1}{T_0}</math>

x(t)的傅立葉轉換：<math>x(f)</math>=<math>\Im</math> {<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_ne^{j2 \pi nf_0t}</math> } =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n\Im</math> {<math>e^{j2 \pi nf_0t}</math>}  =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n\delta(f-f_0)</math>

回憶第四章所提週期訊號 x(t) 的頻譜是由傅立葉級數的係數所構成，為線頻譜。
上述週期訊號 x(t) 的傅立葉轉換(Note：傅立葉轉換也是代表訊號的頻譜)
<math>\Im</math> {<math>X(t)</math>} = <math>X(f)</math><math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n\delta(f-f_0)</math>

也是由傅立葉級數的係數Xn所構成。

結論：無論傅立葉級數或傅立葉轉換均可用來求得週期訊號的頻譜。兩者均由傅立葉級數的係數Xn所構成。不同之處為：
注意:由傅立葉級數求得之振幅頻譜為<math>| Xn |</math> ，只是一個數值；由傅立葉轉換求得之振幅頻譜為一根ㄧ根的脈衝函數。(此因傅立葉轉換所得為振幅密度頻譜)

試分別用傅立葉級數及傅立葉轉換求下列週期訊號 x(t) 的頻譜。

【解】    (1)求 x(t) 的傅立葉級數

<math>x(t)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_ne^{j2 \pi nf_0t}</math>其中<math>f_0=\frac{1}{T_0}</math> = 200MHz


(2)

<math>Xn</math> =<math>\frac{1}{T_0}\int_{t_0- \frac{2}{T_0}}^{t_0+ \frac{2}{T_0}} X(t)e^{j2 \pi nf_0t} \, dt</math> =<math>\frac{1}{T_0}\int_{t_0- \frac{2}{T_0}}^{t_0+ \frac{2}{T_0}} Ae^{j2 \pi nf_0t} \, dt</math> =<math>\frac{A \tau}{T_0} \sin c(nf_0 \tau)e^{-j2 \pi nf_0t_0}</math> =<math>1.6 \sin c(0.002nf_0*10^-6)e^{-j0.004 \pi f_0*10^-6}</math>

<math>\Rightarrow</math><math>| Xn |</math> =<math>| 1.6 \sin c(0.002nf_0*10^-6) |</math>

<math>\angle Xn</math> =<math>[\angle \sin c(0.002nf_0*10^-6)]+(0.004 \pi f_0*10^-6)</math>




(3)因為

<math>x(t)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_ne^{j2 \pi nf_0t}</math>

取傅立葉轉換得

<math>X(f)</math> =<math>\Im</math> {<math>X(t)</math>} =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty [1.6 \sin c(0.002nf_0*10^-6nf_0)e^{-j0.004 \pi f_0*10^-6}]</math><math>\delta (f-f_0)</math>

故

<math>| X(f) |</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty >| 1.6 \sin c(0.002nf_0*10^-6) | \delta (f-nf_0)</math>

<math>\angle X(f) = \begin{cases} [\angle \sin c(0.002nf_0*10^-6)]-(0.004 \pi f_0*10^-6), & f=nf_0 n=0,\pm 1,\pm 2,...\\ 0, & other \end{cases}</math>



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== 範例5.26 ==
試求脈衝序列(impulse train)

<math>\delta_{T0}(t)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>\delta (t-nT_0)</math>

的傅立葉轉換。

【解】
                 (1)脈衝序列<math>\delta_T0(t)</math>為一週期訊號，基本週期為T_0
          
               (2)用傅立葉級數表示

<math>\delta_T0(t)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>\delta (t-nT_0)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \Delta_ne^{j2 \pi nf_0}</math> , <math>f_0=\frac{1}{T_0}</math>

其中<math>\Delta_n</math> =<math>\frac{1}{T_0}\int_{t_1}^{t_1+{T_0}} \delta_{T_0}(t)e^{-j2 \pi nf_0t} \, dt</math> =<math>\frac{1}{T_0}\int_{\frac{2}{-T_0}}^{\frac{2}{T_0}} \delta_{T_0}(t)e^{-j2 \pi nf_0t} \, dt</math> =<math>\frac{1}{T_0}\int_{\frac{2}{-T_0}}^{\frac{2}{T_0}} \delta(t)e^{-j2 \pi nf_0t} \, dt</math> =<math>\frac{1}{T_0}</math> =<math>f_0</math>

故<math>\delta_{T_0}(t)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>\delta (t-nT_0)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty f_0 e^{j2 \pi nf_0t}</math>

(3) <math>\delta_{T_0}(t)</math>的傅立葉轉換

<math>\Im</math> {<math>\delta_{T_0}(t)</math>} =<math>\Delta_{T_0}(f)</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>f_0 \delta (f-nf_0)</math>



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== 週期訊號的傅立葉轉換—方法二 ==
x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為T_0

定義：

<math>X_p(t) = \begin{cases} X(t), & t1<t<t1+T_0\\ 0, & other \end{cases}</math>

故

X_p(t)* \delta_{T0}(t) = X_p(t)* [<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>f_0 \delta (t-nT_0)</math>] =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>[X_p(t)* \delta (t-nT_0)]</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>X_p(t-nT_0)</math> = X(t)

所以

X(f) =<math>\Im</math> {<math>X(t)</math>} =<math>\Im</math> {<math>X_p(t)* \delta_{T0}(t)</math>} <math>X_p(f)\delta_{T0}(f)</math> = X_p(f)<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>f_0 \delta (f-nf_0)</math> = f_0<math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>X_p(nf_0) \delta (f-nf_0)</math>

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== 範例5.27 ==
同先前範例5.25，試改用第二種方法求下圖 x(t) 之傅立葉轉換。

【解】︰
                 (1)上圖週期訊號 x(t) 可表示成

<math>X(t)=X_P(t)* \delta_{T0}(t)</math>           <math>(T_0=0.005us)</math>

其中

<math>X_P(t) = 4rect(\frac{t-0.002*10^-6}{0.002*10^-6})</math>


(2)已知

<math>X_p(f)</math> =<math>\Im</math> {<math>X_p(t)</math>} =<math>(0.008*10^-6)\sin c(0.002f*10^-6) e^{-j0.004 \pi f*10^-6}</math>

<math>\delta_{T0}(f)</math> =<math>\Im</math> {<math>\delta_{T0}(t)</math>} = <math>\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>f_0 \delta (f-nf_0)</math> , <math>f_0=200MHz</math>

(3)故

<math>X(f)=X_P(f) \delta _{T0}(f)</math> =<math>[(0.008*10^-6)\sin c(0.002f*10^-6) e^{-j0.004 \pi f*10^-6} [\sum_{n=-\infty}^\infty f_0 \delta (f-nf_0)]</math> =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty [1.6\sin c(0.002nf_0*10^-6) e^{-j0.004 \pi f*10^-6}] \delta (f-nf_0)</math>