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逆散射變換是為解決一些非線性偏微分方程的方法。該方法類似於一種非線性版本的傅立葉變換。

逆散射變換可應用於許多所謂的完全可解模型。包括Korteweg–de Vries方程，非線性薛定諤方程，耦合非線性薛定諤方程，Sine-Gordon方程，Kadomtsev-Petviashvili方程，Toda晶格方程，Ishimori方程，Dym方程等。

逆散射問題可寫成Riemann–Hilbert factorization問題。如此可以推廣到微分算子階數大於2，以及周期性位勢。

== 方程式的解 ==

'''第一步.''' 寫下非線性偏微分方程<math>u_t=f(u,u_x,\dots)</math>。這通常是來自物理學的研究。 

'''第二步.''' 準備好隨時間演化的散射系統，其中 Lax pair 包含兩個線性算子，<math>L</math> 和 <math>M</math>，使得 <math>Lv=\lambda v</math> 並且 <math>v_{t}=Mv</math>, 這邊下標 t 表示對時間的偏微分。這邊很重要的參數--特徵值<math>\lambda</math>是與時間無關的常數，也就是<math>\lambda_{t}=0</math>。這件事情的充分必要條件如下：對<math>Lv=\lambda v</math>取時間微分
:<math>L_{t}v+Lv_{t}=\lambda_{t}v+\lambda v_{t}.</math>
將 <math>v_{t}</math> 代換成 <math>Mv</math> 
:<math>L_{t}v+LMv=\lambda_{t}v+\lambda Mv.</math>
再改寫最右邊項
:<math>L_{t}v+LMv=\lambda_{t}v+MLv.</math>
因此，對<math>v\not=0</math>,<math>\lambda_{t}=0</math> 若且唯若
:<math>L_t + LM - ML = 0. \, </math>
這就是 Lax 方程式。最簡單的選取<math>L</math>是Schrödinger算子：
:<math>L=\frac{d^{2}}{dx^{2}}+u,</math>
比較 <math>L_{t}v+Lv_{t}</math> 和 <math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{d^{2}v}{dx^{2}}+uv\right)</math> 之後我們得出 <math>\frac{\partial L}{\partial t}=u_{t}</math>。
在適當的選取 Lax pair後，Lax 方程式會是原來的非線性偏微分方程<math>u_t=f(u,u_x,\dots)</math>。

'''第三步.''' 在無窮遠處描述本徵函數(eigenfunctions)的時間演化和相對應的每個特徵值<math>\lambda</math>，耗散波函數的係數，反射係數，這三個組成所謂的散射數據。這系統的時間演化是可解的線性常微分方程。

'''第四步.''' 解 Gelfand–Levitan–Marchenko 積分方程，這個線性積分方程可以獲得原來的非線性偏微分方程的解。為了做到這一點，需要在所有的散射數據。

== 範例: Korteweg–de Vries 方程 ==

Korteweg–de Vries 方程是一個非線性函數u的偏微分方程;包含兩個實數的變量，空間變量''x'' 和時間變量''t''：
:<math> \frac{\partial u}{\partial t}- 6\, u\, 
\frac{\partial u}{\partial x}+
\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}  =0,\,</math>

解這個方程式的初值問題 <math>u(x,0)</math>是一個 Schrödinger 方成的特徵值問題
:<math> \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-u(x,t)v=\lambda v</math>
這裡 <math>v</math> 是包和變數 ''t'' 和 ''x'' 的未知函數，''u'' 是 Korteweg–de Vries 方程式的解除了<math>u(x,t=0)</math>已知外，其他<math>u(x,t\neq 0)</math>未知。
從薛定諤方程，我們得到
:<math> u=\frac{1}{v} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \lambda</math>
也就是說
:<math> L=\partial_x^2-u</math>
:<math> M=-4\partial_x^3+6u\partial_x+3u_x</math>
把 <math> u=\frac{1}{v} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \lambda</math> 帶到 <math> Mv=v_t</math> 會變成只有 <math>v</math> 的微分方程式，解出 <math>v</math> 的散射數據。

* http://web.archive.org/20090423234052/www.math.ucla.edu/~rrtakei/gradProj/poster_apma935.pdf

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