查看“︁邏輯通路/三角形投影公式”︁的源代码

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你必須先知道：[[邏輯通路/三角函數的定義|三角函數的定義]]

{{theorem|1=
'''投影公式'''[[Image:Projection formula (1).png|right]]
在 △ABC 中，若設三邊長為：
:<math>a=\overline{BC}, b=\overline{CA}, c=\overline{AB}</math> 
則：
:<math>\begin{cases}
   a=b \cos C + c \cos B \\
   b=c \cos A + a \cos C \\
   c=a \cos B + b \cos A 
\end{cases}</math>
}}

===證明===
我們將說明為甚麼 <math>a=b \cos C + c \cos B</math>，至於其他兩個公式，因為證法一樣，所以就不再重複了。


在上圖中，<math>\overline{AD} \perp \overline{BC}</math>，因此
:<math>\frac{\overline{BD}}{c}=\cos B \Rightarrow \overline{BD}=c \cos B</math>
:<math>\frac{\overline{DC}}{b}=\cos C \Rightarrow \overline{DC}=b \cos C</math>

所以
:<math>a=\overline{BD}+\overline{DC}=c \cos B + b \cos C</math>


== 其他情況 ==
{|align="right"
|
[[Image:Projection formula (2).png|right|200px|thumb|（圖二）<math>\angle B</math> 是鈍角，<math>\angle C</math> 是銳角]]
|
[[Image:Projection formula (3).png|right|200px|thumb|（圖三）<math>\angle B</math> 是銳角，<math>\angle C</math> 是鈍角]]
|}
當然三角形也可能呈現如右圖二或右圖三的情況，但並不影響本公式的正確性。以下我們只討論（圖二）的情況：
在（圖二）中，
:<math>c \cos B = - \overline{BD}</math>
:<math>b \cos C = \overline{CD}</math>
因此
:<math>b \cos C + c \cos B = \overline{CD}-\overline{BD}= \overline{BC} </math>
所以本公式又再一次得到驗證。

{{note|（圖三）的情況請讀者自行驗證。}}

{{note|1=如果 <math>\angle B</math> 或 <math>\angle C</math> 是 <math>90^\circ</math> 的話，那麼本公式很明顯還是對的，請讀者自行驗證。}}

==分點公式==
:<math>D=\frac{(b \cos C)B +(c \cos B)C}{a}</math>

== 其他證法 ==
利用「[[邏輯通路\餘弦定理|餘弦定理]]」證明

[[category:邏輯通路索引|{{SUBPAGENAME}}]]