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__NOTOC__
{{theorem|1=[[Image:Orthocenter.png|right]]
'''垂心座標'''

假設
:<math>\vec a = \overrightarrow{BC},\vec b = \overrightarrow{CA},\vec c = \overrightarrow{AB}</math>
則
:<math>H=\frac{\alpha A + \beta B + \gamma C}{\alpha + \beta  + \gamma}</math>
其中
:<math>\begin{matrix}
 \alpha = (\vec a \cdot \vec b)(\vec a \cdot \vec c) \\
 \beta = (\vec b \cdot \vec c)(\vec b \cdot \vec a) \\
 \gamma = (\vec c \cdot \vec a)(\vec c \cdot \vec b) 
\end{matrix}
</math>
}}

你必須先知道：[[邏輯通路/向量內積]]、[[邏輯通路/分點公式|分點公式]]、[[邏輯通路/三角形投影公式|三角形投影公式]]

我們知道 △ABC 的[[邏輯通路/三角形重心的計算公式|重心座標計算公式]]是：
:<math>\frac{A+B+C}{3}</math>

[[邏輯通路/三角形內心的計算公式|內心座標計算公式]]是：
:<math>\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}</math>


那麼如果我們知道 A、B、C 的座標的話，垂心座標又該如何計算呢？從右圖中，我們可以看出來：F 是 A、B 的[[邏輯通路/分點公式|分點]]，H 是 F、C 的分點，所以我們打算利用「[[邏輯通路/分點公式|分點公式]]」來計算 H 的座標。

假設
:<math>a=\overline{BC}, b=\overline{CA}, c=\overline{AB}</math> 

首先我們先計算 <math>\overline{AF}</math> 與 <math>\overline{FB}</math> 的量<ref>此處的計算牽涉到 cos 函數，所以會有正負的問題（銳角為正，鈍角為負），因此我們並不只是單純的計算「長度」而已。 </ref>:

因為
:<math>\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}=\cos A</math>
所以
:<math>\overline{AF}=\overline{AC} \cos A=b \cos A</math>
同理，因為
:<math>\frac{\overline{FB}}{\overline{CB}}=\cos B</math>
所以
:<math>\overline{FB}=\overline{CB} \cos B=a \cos B</math>

 
註釋：
<references/>
[[category:邏輯通路索引|垂心座標]]