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{{theorem|1=
[[Image:MenelausTheorem (1).png|right|200px]]
假設 A、B、C 為（平面上或空間中）不共線三點，D、E、F 分別為直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\text{BC}},\;\overset{\longleftrightarrow}{\text{CA}},\;\overset{\longleftrightarrow}{\text{AB}}</math> 上異於 A、B、C 的三點，則我們可以推得下列的事實：

D、E、F '''三點共線'''
<math>\Longleftrightarrow\left({\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FB}}}\right)=-1</math>

{{note|1=此公式牽涉到「[[邏輯通路/有向比|有向比]]」，如果對[[邏輯通路/有向比|有向比]]不熟悉的讀者，請查閱「[[邏輯通路/有向比]]」。}}
}}
===證明===
[[Image:Menelaus Theorem (2).png|right]]
* 我們先證明如果 D、E、F '''三點共線'''的話，則上面所提的'''三個「有向比」的乘積為 -1'''。

:如右圖，我們從 A、B、C 分別作垂線到直線 DEF 上。假設它們的垂足分別為 G、H、I，根據「[[邏輯通路/有向比性質#性質 (1)|有向比性質 (1)]]」，我們可以得知：
::<math>\dfrac{\overrightarrow{\mbox{BD}}}{\overrightarrow{\mbox{DC}}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{BH}}}{\overrightarrow{\mbox{IC}}},\quad\dfrac{\overrightarrow{\mbox{CE}}}{\overrightarrow{\mbox{EA}}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{CI}}}{\overrightarrow{\mbox{GA}}},\quad
\dfrac{\overrightarrow{\mbox{AF}}}{\overrightarrow{\mbox{FB}}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{AG}}}{\overrightarrow{\mbox{HB}}}</math>
:所以，
::{|
|-
|&nbsp;
|<math>\left({\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FB}}}\right)</math>
|&nbsp;
|-
|=
|<math>\left({\frac{\overrightarrow{BH}}{\overrightarrow{IC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{GA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{HB}}}\right)</math>
|&nbsp;
|-
|=
|<math>\left({\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{IC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{GA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{BH}}{\overrightarrow{HB}}}\right)</math>
|{{nowrap|&nbsp;&nbsp;&nbsp; ..... 根據「[[邏輯通路/有向比性質#性質 (2)|有向比性質 (2)]]」}}
|-
|=
|(-1)(-1)(-1)
|&nbsp;
|-
|=
| -1
|&nbsp;
|}
:因此，我們證明了'''三個「有向比」的乘積為 -1'''。
----
* 其次，我們來證明：如果'''三個「有向比」的乘積為 -1'''，則 D、E、F '''三點共線'''

:首先，我們考慮直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{DE}}}</math> 。
:直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{DE}}}</math> 可能與直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{BC}}}</math> 平行或相交，所以底下我們分成兩個路徑來思考：
:(1) 直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{DE}}}</math> 與直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{BC}}}</math> 平行

:(2) 直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{DE}}}</math> 與直線 <math>\overset{\longleftrightarrow}{\scriptstyle{\text{BC}}}</math> 相交

==參考資料==
{{Wikipedia|孟氏定理}}

[[category:邏輯通路索引|{{SUBPAGENAME}}]]