查看“︁高中数学/不等式与数列/平均值不等式”︁的源代码

== 阅读指南 ==
希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

先前我们已经了解，任何实数的平方或取实数值的代数式的平方一定不会小于0，这是推导各种常用不等式的起点。

== 基础知识 ==
=== 2种平均数的定义与基本不等式 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">定义：对于任意的2个正数，称<math>\frac{a+b}{2}</math>叫做它们的'''算术平均数（arithmetic mean）'''，<math>\sqrt{ab}</math>叫做它们的'''几何平均数（geometric mean）'''。</font><ref name="人教版课本2003年高中数学_基本不等式">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第2册(上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17450-9 |section=第6章“不等式”第6.2小节“算术平均数与几何平均数” |pages=9-12 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png | Crystal Project Warehause | 50px]]
定理：任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数<ref name="人教版课本2003年高中数学_基本不等式" />。即对于任意的正数a和b，一定有：<math>\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}</math><br />
当且仅当（if and only if，缩写为“iff.”）a = b时，上式中的等号成立<ref name="人教版课本2003年高中数学_基本不等式" />。<br />
这个不等式也叫做'''算术-几何平均值不等式（inequality of arithmetic and geometric means）'''，简称'''平均值不等式'''或'''基本不等式'''。
</blockquote>

证明：<br />
<math>
\begin{align}
\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} > 0 & \Leftrightarrow a+b \ge 2 \sqrt{ab} > 0 \\
& \Leftrightarrow (a+b)^2 \ge 4ab > 0 \\
& \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab > 0 \\
& \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0 \\
& \Leftrightarrow a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \\
& \Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0 \\
\end{align}
</math><br />
最后一个式子显然成立，并且上式中的等号当且仅当a = b时才成立。证明完毕。

[[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]]
注意：(1)只有保证a和b都是正数的前提下，才能套用平均值不等式。(2)不等式的取等条件是否成立非常重要，在证明题和解答题中都需要单独说明。

=== 对平均值不等式的多种理解 ===
[[File:AM GM inequality visual proof.svg |thumb |150px |算术-几何平均值不等式的几何意义。]]
从几何角度看，基本不等式本身的意义如右图所示。另一方面，从代数角度来看，平均值不等式可以说明对于2个正数：
* 如果限定它们的和为固定值，那么它们的乘积一定存在最大取值<math>\sqrt{ab}</math>。
* 如果限定它们的乘积为固定值，那么它们的和一定存在最小取值<math>\frac{a+b}{2}</math>。
常用以口诀简记为“和定积最大，积定和最小”。“和定积最大”的意义是说当长方形的周长一定时，其面积有最大值，当且仅当长方形是正方形时面积值达到最大；“积定和最小”的意义是说当长方形的面积一定时，其周长有最小值，当且仅当长方形是正方形时周长值达到最大。

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提示：对于了解过等差数列和等比数列概念的读者，如果把<math>\frac{a+b}{2}</math>看作是正数a和b的等差中项，<math>\sqrt{ab}</math>看作是它们的等比中项，那么这个基本不等式也可以表述为'''任意两个正数的等差中项不小于它们的等比中项'''。<ref name="人教版课本2003年高中数学_基本不等式"/>

=== 简单的分式最值 ===
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知x > 0，求函数<math>y = x + \frac 1 x</math>的最小值。

<!-- 本小节例题1的解答 -->
 <div class="collapsible answer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>解答：<br />
 因为<math>x > 0, \frac 1 x > 0</math>，所以由平均值不等式可知：<br />
 <math>x + (\frac 1 x) \ge 2 \sqrt{x \times (\frac 1 x)} = 2 \sqrt{1} = 2</math><br />
 当且仅当<math>x = \frac 1 x</math>（此时<math>x = 1</math>，另一个解<math>x = -1</math>因不满足条件<math>x > 0</math>而舍去）时上式中的等号成立。<br />
 所以原函数的最小值为2。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：<math>2</math>。</p>
</div>

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
已知x > 0，求函数<math>y = x + \frac{x^2 + 1}{x}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
已知x > 1，求函数<math>y = x + \frac{x + 3}{x - 1}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题3的解答 -->
 <div class="collapsible answer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>解答：<br />
 <math>x + \frac{x + 3}{x - 1} = x + \frac{(x - 1) + 4}{x - 1} = x + \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1} = x + 1 + \frac{4}{x - 1} = (x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 2</math><br />
 因为<math>x - 1> 0, \frac{4}{x-1} > 0</math>，所以由平均值不等式可知：<br />
 <math>y = (x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 2 = 2 \sqrt{(x - 1) \times \frac{4}{x - 1}} + 2 = 2 \sqrt{4} + 2 = 6</math><br />
 当且仅当<math>x - 1 = \frac{4}{x - 1}</math>（此时<math>x = 3</math>，另一个解<math>x = -1</math>因不满足条件<math>x > 1</math>而舍去）时上式中的等号成立。<br />
 所以原函数的最小值为6。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：6。</p>
</div>

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：
已知x > 1，求函数<math>y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题5 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题5：
已知x > 0，求函数<math>y = \frac{x}{x^2 + 4}</math>的最大值。

<!-- 本小节例题6 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题6：
已知a > b > c，比较<math>\sqrt{(a-b)(b-c)}</math>与<math>\frac{a-c}{2}</math>的大小关系。

=== 项的简单配凑 ===
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知x > 3，求函数<math>y = x + \frac{4}{x-3}</math>的最小值，并求取到最小值时x的值。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
已知<math>x > \frac 1 2</math>，求函数<math>y = \frac{2x^2 + x + 1}{2x - 1}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题3 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题3：
已知x > 3，求函数<math>y = \frac{3 - x}{x^2 + x + 1}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题4 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题4：
求函数<math>y = 3x^2 + \frac{6}{x^2 + 1}</math>的最小值。

=== 解决某些二次函数的极值问题 ===
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知0 < x < 3，求使得函数<math>y = x(3-x)</math>取得最大值时x的值。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
利用平均值不等式求解下列各个函数的最小值：<br />
(1)<math>y_1 = (x-1)(x+2) \quad (-2 \le x \le 1)</math>。<br />
(2)<math>y_2 = (x-1)(x-2) \quad (1 \le x \le 2)</math>。<br />
(3)<math>y_3 = (x+1)(x+2) \quad (-2 \le x \le -1)</math>。<br />
(3)<math>y_4 = (x-1)(2x+1) \quad (-2 \le x \le -1)</math>。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
已知x > 0，求函数<math>y = \frac 1 x - \frac{1}{x - 3}</math>的最大值。

== 常用结论与常见模型 ==
使用基本不等式求最值的关键是拼凑出“定和”或“定积”的形式，并保证等号要能成立。常用技巧包括：
* 加项或拆项。
* 减少变量数目或统一变元
* 平方后再利用基本不等式
* 利用约束条件中的常量代换

=== 约束条件的代换 ===
有时候，要求最值的式子和所给的定值约束条件不太相符。这时可以考虑利用约束条件可以进行变量或常量的等价替换，以便拼凑出满足基本不等式的形式条件。
* 通过换元，将包含多个变量的式子减少变量数目或统一变元。
* 常量代换，这种方法最常用于“已知<math>ma + nb = k</math>，求<math>\frac 1 a + \frac 1 b</math>的最小值”和“已知<math>\frac m a + \frac n b = 1</math>，求<math>a + b</math>的最小值”的题型（其中m和n是已知常数，且a、b、m、n均为正数）。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知a > 0，b > 0，且<math>a + b = 2</math>，求<math>\frac 1 a + \frac 1 b</math>的最小值。

<!-- 本小节例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：
已知a > 0，b > 0，且<math>\frac 1 a + \frac 9 b = 1</math>，求<math>a + b</math>的最小值。

<!-- 本小节例题3 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题3：
若正数a、b满足<math>a^2 + 3ab - 1 = 0</math>，求<math>a + b</math>的最小值。

<!-- 本小节例题4 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题4：
设<math>a + 3b - 2 = 0</math>，求<math>3^a + 27^b + 1</math>的最小值。

<!-- 本小节例题5 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题5：
已知a > 0，b > 0，<math>a + 2b + 2ab = 8</math>，求<math>a + 2b</math>的最小值。

<!-- 本小节例题6 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题6：
设正实数a、b、c满足<math>a^2 - 3ab + 4b^2 - c = 0</math>，则当<math>\frac{c}{ab}</math>取最小值时，求<math>a + 2b - c</math>的最大值。

=== 系数的配凑 ===
<!-- 本小节例题1 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题1：
已知a > 0，b >0，<math>\frac a 2 + \frac b 3 = 2</math>，求<math>ab</math>的最大值，并求取到最大值时a、b的值。

<!-- 本小节例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：
已知正实数a、b满足<math>a + b = 4</math>，求<math>\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+3}</math>的最小值。

=== 基本不等式的多次应用与简单的3元情形 ===
{{more |高中数学/不等式与数列/常用不等式补充}}

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知a > 0，b > 0，求<math>\frac 1 a + \frac 1 b + 2 \sqrt{ab}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：
已知0 < x < 2，求<math>x^2(2 - x)</math>的最大值。

<!-- 本小节例题3 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题3：
已知a、b、c都是正数，求证：<math>(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8abc</math>。

<!-- 本小节例题4 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题4：
设<math>a, b, c > 0</math>，求证：<math>a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca</math>。

<!-- 本小节例题5 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题5：
求证：<math>3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2</math>。

<!-- 本小节例题5的解答 -->
<div class="collapsible proof" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>证明：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  \left\{
  \begin{array}{l}
	a^2 + b^2 \ge 2ab \\
	b^2 + c^2 \ge 2bc \\
	c^2 + a^2 \ge 2ca
  \end{array}
  \right. \\
  \Rightarrow (a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2) \ge 2ab + 2bc + 2ca \\
  \Rightarrow 2(a^2 + b^2 + c^2) \ge 2(ab + bc + ca) \\
  \Rightarrow 2(a^2 + b^2 + c^2) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge 2(ab + bc + ca) + (a^2 + b^2 + c^2) \\
  \Rightarrow 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2
 \end{array}
 </math><br />
 上式中的等号当且仅当<math>a = b = c</math>时成立。证明完毕。
 </p>
</div>

<!-- 本小节例题6 -->
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相关例题6：
已知a、b、c都是正数，求证：<math>\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} +\frac{c^2}{a} \ge a + b + c</math>。

<!-- 本小节例题7 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题7：
已知a、b、c是互不相等的正数，且<math>a + b + c = 1</math>，求证：<math>(\frac{1}{a} - 1)(\frac{1}{b} - 1)(\frac{1}{c} - 1) \ge 8</math>。

<!-- 本小节例题8 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题8：
已知a、b、c为不全相等的正实数，且<math>abc = 1</math>，求证：<math>\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge \frac 1 a + \frac 1 b + \frac 1 c</math>。

=== 易错点：多次套用不等式时忽视取等条件的一致性 ===

=== 对勾型函数的最值 ===
<!-- 本小节例题1 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题1：
求<math>y = e^x + e^{-x}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：
求<math>y = \frac{\sin x}{2} + \frac{2}{\sin x} \quad (0 < x < \pi)</math>的最小值。

=== 结合对数知识的考察 ===
<!-- 本小节例题1 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题1：
已知a > 0，b > 0，且<math>\lg 2^a + \lg 8^b  = \lg 2</math>，求<math>\frac 1 a + \frac{1}{3b}</math>的最小值。

<!-- 本小节例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：
若<math>2^a + 2^b = 1</math>，求<math>a + b</math>的取值范围。

<!-- 本小节例题3 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题3：
比较<math>\lg 9 \times \lg 11</math>与<math>1</math>的大小关系。

<!-- 本小节例题4 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题4：
已知a、b是正实数，且<math>2a + 5b = 20</math>，求：<br />
(1)<math>\lg a + \lg b</math>的最大值；<br />
(2)<math>\frac 1 a + \frac 1 b</math>的最小值。

<!-- 本小节例题5 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题5：
已知函数<math>f(x) = \lg x \quad (x \in \mathbb{R}^+)</math>，若<math>x_1, x_2 \in (-0, +\infty)</math>，请比较<math>\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}</math>与<math>f(\frac{x_1 + x_2}{2})</math>的大小关系。

=== 2元的平均数不等式链 ===
对于2个正数a和b，有下列不等式链成立：<br />
<math>\min\{a, b\} \le \frac{2}{\frac 1 a + \frac 1 b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \le \max\{a, b\}</math><br />
或<br />
<math>\min\{a^2, b^2\} \le (\frac{2}{\frac 1 a + \frac 1 b})^2 \le ab \le (\frac{a+b}{2})^2 \le \frac{a^2 + b^2}{2} \le \max\{a^2, b^2\}</math><br />
当且仅当a = b时，以上各等号同时成立。

它可以看作[[w:平均数不等式|平均数不等式]]在只涉及2个变元时的特殊情形，给出了4种最常见的平均数的大小顺序。

<!-- 本小节例题 -->
[[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题：
已知a > 0，b > 0，求<math>\frac{a+b}{2}</math>、<math>\sqrt{ab}</math>、<math>\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}</math>、<math>\frac{2ab}{a+b}</math>中最小的一项一定是哪一项。

[[File: Crystal Clear action find.png | Crystal Clear action find | 50px]]
视野拓展：不等式链可以扩充到令人大跌眼镜的程度。例如对于<math>0 < a \le b</math>，可以得到：
<math>
\begin{align}
a < (a^b b^a)^{\frac{1}{a+b}} < \sqrt{\frac{2a^2 b^2}{a^2 + b^2}} < \frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{(ab)^{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} (a^{\frac{1}{\sqrt{3}}}+b^{\frac{1}{\sqrt{3}}})}{2} < \frac{b-a}{\ln b - \ln a} \\
< (\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{2})^3 < (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^2 < \frac{a + \sqrt{ab} + b}{3} < (\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{2})^{\frac{3}{2}} < \frac 1 e (\frac{a^a}{b^b})^{\frac{1}{a-b}} \\
< \frac{a+b}{2} < \frac{2}{3} \frac{a^2 + ab + b^2}{a+b} < \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} < (a^a b^b)^{\frac{1}{a+b}} < \frac{a^2 + b^2}{a+b} < \sqrt{a^2 - ab + b^2} < b
\end{align}
</math><br />
显然，这是一个很不和谐的东西，拿它来为难同学或老师都是非常不道德的行为。它只适合有收集癖的读者。其中的某些中间链条涉及不少变形技巧与其它知识，并非仅靠套用基本不等式就能得到简洁证明的。

上述均值不等式链的一部分——[[高中数学/不等式与数列/常用不等式补充#对数均值不等式|对数均值不等式]]（ALG不等式）在解决[[高中数学/微积分初步/利用导数证明不等式#极值点偏移|函数的极值点偏移问题]]上有着重要的应用。

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]
* 已知<math>a, b > 0</math>，求证：<math>\frac a b \ge 4(a - ab)</math>。
* 已知<math>a, b > 0, a + 2b = 1</math>，求证：<math>ab \le \frac 1 8</math>。
* 已知0 < x < 1，请用平均值不等式说明当x取何值时，<math>\sqrt{x(1-x)}</math>可取到最大值。
* 已知0 < x < 2，求<math>\sqrt{x(2 - x)^2}</math>的最大值。
* 已知x > 0，求<math>(x + \frac 1 x) - \frac{1}{x + \frac 1 x}</math>的最小值。
* 判断下列做法是否有误。如果有误，请指出具体出错原因。
:(1)设x > 0，因为<math>(x + \frac 1 x) + \frac{1}{x + \frac 1 x} \ge 2 \sqrt{(x + \frac 1 x) \cdot \frac{1}{x + \frac 1 x}} = 2 \sqrt{1} = 2</math>，所以<math>(x + \frac 1 x) + \frac{1}{x + \frac 1 x}</math>有最小值2。
:(2)设k > 1，因为<math>(1 - \frac 1 k)(1 + \frac 2 k) = \frac 1 2 (1 - \frac 1 k)(2 + \frac 1 k) \le \frac 1 2 (\frac{(1 - \frac 1 k) + (2 + \frac 1 k)}{2})^2 = \frac 1 2 (\frac{3}{2})^2 = \frac 9 8</math>，所以<math>(1 - \frac 1 k)(1 + \frac 2 k)</math>有最大值<math>\frac 9 8</math>。
:(3)设x > 0，因为<math>2x(x+1) \le (\frac{(2x) + (x+1)}{2})^2 = (\frac{3x+1}{2})^2</math>，所以<math>\frac{(3x+1)^2}{2x(x+1)} \ge \frac{(3x+1)^2}{(\frac{3x+1}{2})^2} = 4</math>，所以<math>\frac{(3x+1)^2}{2x(x+1)}</math>有最大值4。
:(4)因为<math>3 \sqrt[3]{2x(1-x)(2-x)} \le 2x + (1 - x) + (2 - x) = 3</math>，所以<math>x(1-x)(2-x)</math>有最大值1。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|算术-几何平均值不等式}}

{{DEFAULTSORT: inequality of arithmetic and geometric means}}
[[category:不等式|A-G inequality]]
[[category:高中数学]]