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== 阅读指南 ==
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希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
[[File:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg |thumb |150px |卡尔·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777年－1855年）是十八世纪末、十九世纪初最重要的数学家。他在[[w:哥廷根大学|哥廷根大学]]任职期间，创立了“哥廷根学派”，使哥廷根大学成为当时的世界数学研究中心。他的学生[[w:波恩哈德·黎曼|波恩哈德·黎曼]]也是对现代数学的发展影响深远的名家。]]
200多年前，高斯的小学数学老师在课堂上提出了下面的问题：<math>1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = ?</math>

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，小高斯却通过巧妙的配对求和方法，算出了正确答案：
<math>(1+100) + (2+99) + \cdots + (50+51) = 101\times 50 = 5050</math>

=== 定义与基本概念 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<b><font color="#008000">'''等差数列'''又称'''算术数列'''（arithmetic sequence），是相邻两项之差始终为常数的数列。等差数列相邻项的常数差值叫做公差。</font></b><ref name="人教版课本2003年高中数学_等差数列">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section=第3章“数列”第3.2节“等差数列”和第3.3节“等差数列的前n项和” |pages=110-119 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>
</blockquote>

如果已知等差数列<math>\langle a_n \rangle</math>的首项<math>a_1</math>和公差<math>d</math>，通过依次倒推的方法，可以得到等差数列的通项公式：
<math>a_n = a_{n-1} + d = (a_{n-2} + d) + d = ((a_{n-3} + d) + d) + d = ... = a_1 + (n-1)d</math><br />
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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以<math>a_1</math>为首项、<math>d</math>为公差的等差数列的通项公式为<ref name="人教版课本2003年高中数学_等差数列" />：
<math>a_n = a_1 + (n-1)d, \quad n \in \mathbb{Z}^+</math>
</blockquote>

=== 待定系数法求等差数列的通项公式与未知量 ===
当已知数列是等差数列，但只知道一部分量或关系式时，可以使用待定系数法设出等差数列通项的一般形式表达式，然后带入已知条件中，通过化简和比较系统确定通项公式中的未知系数。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：若等差数列<math>\{a_n\}</math>的通项公式是<math>a_n = 2(n+1) + 3</math>，求这个数列的公差。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：在数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 = 2, 2 a_{n+1} = 2 a_n + 1</math>，求<math>a_{101}</math>的值。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：在等差数列<math>\{a_n\}</math>中，设d为公差，求解下列问题：<br />
(1) 已知<math>a_1 = 2, d = 3, n = 10</math>，求<math>a_n</math>。<br />
(2) 已知<math>a_1 = 3, a_n = 21, d = 2</math>，求n。<br />
(3) 已知<math>a_1 = 12, a_6 = 27</math>，求d。<br />
(4) 已知<math>d = - \frac 1 3, a_7 = 8</math>，求<math>a_1</math>。

如果已知条件中会出现特定数列的多个相邻项，此时为了简化计算，可以采取一些小技巧。例如当给出等差数列<math>\{a_n\}</math>中的奇数个相邻项时，可以设夹在最中间的那一项为a，再以d为公差分别向2边分别设项，即将已知的几项设为<math>..., a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d, ...</math>的形式；类似地，当给出等差数列<math>\{a_n\}</math>中的偶数个相邻项时，可以设夹在最中间的两项为<math>a-d, a+d</math>，再以2d为公差向两边分别设项，即将已知的几项设为<math>..., a - 3d, a - d, a + d, a + 3d, ...</math>的形式。

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：已知成等差数列的4个数之和为26，第2个数与第3个数之积为40，求这4个数。

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数。

<!-- 本小节例题6 -->
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相关例题6：《[[w:九章算术|九章算术]]》上有一道题，说已知甲、乙、丙、丁、戊这5个人分5钱（“钱”是一种古代货币计量单位），甲、乙所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，求这5个人各得了多少钱？

<!-- 本小节例题7 -->
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相关例题7：在三角形ABC中，角A、B、C的对边长度分别为a、b、c。如果a、b、c成等差数列，<math>B = 30^\circ</math>，三角形ABC的面积为<math>\frac 3 2</math>，求边b的值。

=== 倒序相加法与等差数列前n项和公式 ===
设<math>S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n</math>，<br/>
再逆序写出各项：<math>S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + ... + a_1</math>，<br />
将以上2式逐项相加得：<math>S_n + S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + ... + (a_n + a_1)</math>。<br />
又因为<math>(a_1 + a_n) = (a_2 + a_{n-1}) = (a_3 + a_{n-2}) = ... = (a_n + a_1)</math>，<br />
所以可得（一共n组求和）：<math>2 S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = \sum_{i=1}^n (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)</math>。<br />

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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以<math>a_1</math>为首项、<math>d</math>为公差的等差数列的前n项和公式为<ref name="人教版课本2003年高中数学_等差数列" />：
<math>S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n), \quad n \in \mathbb{Z}^+</math>

即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半<ref name="人教版课本2003年高中数学_等差数列" />。此公式常以汉语口诀记为“首相加末项，乘以项数，再除以二”。
</blockquote>

上述的求和方法叫做'''倒序相加法'''，因高斯求和的故事而闻名。

== 常用结论与常见模型 ==
=== 等差数列通项公式的变形 ===

=== 等差数列的常用性质 ===
将一个等差数列的每一项都乘以同1个常数后，得到的仍然是一个等差数列。

推论：设<math>f(x)</math>是一次函数，<math>\{a_n\}</math>是等差数列，则<math>\{f(a_n)\}</math>也是一个等差数列。即等差数列经过一次函数变换后的象仍然是等差数列。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：设数列<math>\{a_n\}</math>、<math>\{b_n\}</math>都是等差数列，若<math>a_1 + b_1 = 7, a_3 + b_3 = 21</math>，求<math>a_5 + b_5</math>的值。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：在等差数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 + a_4 + a_7 = 45, a_2 + a_5 + a_8 = 29</math>，求<math>a_3 + a_6 + a_9</math>的值。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：已知等差数列<math>\{a_n\}</math>前9项的和为27，<math>a_{10} = 8</math>，则<math>a_{100} =</math> (&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.100；B.99；C.98；D.97<br />
（出自2016年中国大陆新课标高考全国卷I第3题。）

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：已知等差数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_5 a_6 = 4</math>，求<math>\log_2 (2^{a_1} \times 2^{a_2} \times ... \times 2^{a_{10}})</math>的值。

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：已知数列<math>\{a_n\}</math>是等差数列，且<math>a_1 + a_4 + a_7 = 2 \pi</math>，求<math>\cos (a_3 + a_5)</math>的值。

<!-- 本小节例题6 -->
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相关例题6：在数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 = 3</math>，且对于任意大于1的正整数n，点<math>(\sqrt{a_n}, \sqrt{a_{n-1}})</math>都在直线<math>x - y - \sqrt{3} = 0</math>上，求<math>a_n</math>的表达式。

<!-- 本小节例题7 -->
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相关例题7：已知数列<math>\{ \frac{a_n}{n} \}</math>是等差数列，且<math>a_3 = 2, a_{15} = 30</math>，求<math>a_9</math>的值。

<!-- 本小节例题8 -->
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相关例题8：首项为<math>a_1</math>，公差d为正整数的等差数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_3 + a_5 + a_7 = 93</math>，满足<math>a_n > 100</math>的n的最小值是15。试求公差d和首项<math>a_1</math>的值。

<!-- 本小节例题9 -->
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相关例题9：已知<math>\{a_n\}</math>是首项为a，公差为1的等差数列。数列<math>\{b_n\}</math>满足<math>b_n = \frac{1 + a_n}{a_n}</math>。若对于任意的<math>n \in \mathbb{N}^+</math>，都有<math>b_n \ge b_8</math>成立，求实数a的取值范围。

<!-- 本小节例题10 -->
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相关例题10：已知函数f(x)是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的单调递增函数且为奇函数，数列<math>\{a_n\}</math>是等差数列，<math>a_{11} > 0</math>，则<math>f(a_9) + f(a_{11}) + f(a_{13})</math>的值(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.恒为正数<br />
B.恒为负值<br />
C.0<br />
D.可正可负

<!-- 本小节例题11 -->
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相关例题11：设等差数列<math>\{a_n\}</math>的公差为d，若数列<math>\{2 a_1 a_n\}</math>为递减数列，则(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.<math>d < 0</math><br />
B.<math>d > 0</math><br />
C.<math>a_1 d < 0</math><br />
D.<math>a_1 d > 0</math>

<!-- 本小节例题12 -->
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相关例题12：设等差数列<math>\{a_n\}</math>的公差为d。若等差数列<math>\{2^{a_1 a_n}\}</math>为递减数列，则(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.<math>d < 0</math><br />
B.<math>d > 0</math><br />
C.<math>a_1 d < 0</math><br />
D.<math>a_1 d > 0</math><br />
（出自2014年中国大陆高考辽宁卷第8题。）

<!-- 本小节例题13 -->
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相关例题13：设<math>\{a_n\}</math>是等差数列，下列结论中正确的是(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.若<math>a_1 + a_2 > 0</math>，则<math>a_2 + a_3 > 0</math><br />
B.若<math>a_1 + a_3 < 0</math>，则<math>a_1 + a_2 < 0</math><br />
C.若<math>0 < a_1 < a_2</math>，则<math>a_2 > \sqrt{a_1 a_2}</math><br />
D.若<math>a_1 < 0</math>，则<math>(a_2 - a_1)(a_2 - a_3) > 0</math><br />
（出自2015年中国大陆高考北京卷第6题。）

=== 等差数列前n项和公式的变形 ===

=== 等差数列前n项和的常用性质 ===

=== 等差中项 ===
如果3个数a、b、c按顺序构成等差数列，那么b叫做a与c的'''等差中项'''，且满足<math>b = \frac{a+c}{2}</math>。反过来，如果有<math>b = \frac{a+c}{2}</math>，也能判断a、b、c一定构成等差数列。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：在1和100之间插入k个数，使这k+2个数构成等差数列，求它们的公差。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：在等差数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 = 8</math>，<math>a_5 = 2</math>。若在此数列中每2个相邻项之间都新插入一个数，使之成为新的等差数列，求此新数列的公差。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：在等差数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 + a_9 = 10</math>，求<math>a_5</math>的值。

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：在等差数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 20</math>，求<math>a_3</math>的值。

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：在等差数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 + a_4 + a_7 = 39</math>，<math>a_2 + a_5 + a_8 = 33</math>，求<math>a_6</math>的值。

<!-- 本小节例题6 -->
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相关例题6：若<math>\lg 2</math>、<math>\lg (2^x - 1)</math>和<math>\lg (2^x + 3)</math>成等差数列，求x的值。

<!-- 本小节例题7 -->
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相关例题7：已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，求m和n的等差中项。

=== 等差数列常用判定方法 ===
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题8：已知<math>\frac 1 a, \frac 1 b, \frac 1 c</math>成等差数列，求证：<math>\frac{b + c}{a}, \frac{c + a}{b}, \frac{a + b}{c}</math>也成等差数列。

<!-- 本小节例题1的解答 -->
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答1：由<math>\frac 1 a, \frac 1 b, \frac 1 c</math>成等差数列可知<math>\frac 1 a + \frac 1 c = 2 \frac 1 b</math>，解得<math>b = \frac{2ac}{a + c}</math>。<br />
要证明<math>b + \frac c a, c + \frac a b, a \frac b c</math>也成等差数列，只需要证明<math>b + \frac c a + a \frac b c = 2 (c + \frac a b)</math>，即：<br />
<math>
\begin{array}{l}
\frac{bc + c^2 + a^2 + ab}{ac} = \frac 2 b (c + a) \\
\Leftrightarrow \frac{a^2 + b (a + c) + c^2}{ac} = \frac 2 b (c + a) \\
\Leftrightarrow \frac{a^2 + (\frac{2ac}{a + c}) (a + c) + c^2}{ac} = \frac{2}{(\frac{2ac}{a + c})} (c + a) \\
\Leftrightarrow \frac{a^2 + 2ac + c^2}{ac} = \frac{(a + c)^2}{ac} \\
\Leftrightarrow a^2 + 2ac + c^2 = (a + c)^2
\end{array}
</math><br />
上式显然成立。证明完毕。
 </p>
</div>
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答2：已知<math>\frac 1 a, \frac 1 b, \frac 1 c</math>成等差数列，<br />
即<math>\frac{a + b + c}{a}, \frac{a + b + c}{b}, \frac{a + b + c}{c}</math>成等差数列（它们同时扩大<math>a + b + c</math>倍后也成等差数列（公差也变为原来的<math>a + b + c</math>倍），<br />
即<math>1 + \frac{b + c}{a}, 1 + \frac{a + c}{b}, 1 + \frac{a + b}{c}</math>成等差数列，<br />
即<math>\frac{b + c}{a}, \frac{a + c}{b}, \frac{a + b}{c}</math>成等差数列。证明完毕。
 </p>
</div>
 <div class="collapsible remarks" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>点评：参考解答2是根据已知式和待求证式的形式特点巧妙变形，并利用了等差数列的2条不同性质，才得到了更便捷的解法。</p>
</div>

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：已知<math>\frac 1 a, \frac 1 b, \frac 1 c</math>成等差数列，并且<math>a+c, a-c, a+c-2b</math>均为正数，求证<math>\lg (a+c), \lg (a-c), \lg (a+c-2b)</math>也成等差数列。

<!-- 本小节例题2的解答 -->
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>证明：已知<math>\frac 1 a, \frac 1 b, \frac 1 c</math>成等差数列，所以<math>\frac 1 a + \frac 1 c = \frac 2 b</math>。<br />
对等式两边都乘以abc，得<math>bc + ab = 2ac</math>。<br />
<math>(a-c)^2 - (a+c)(a+c-2b) = a^2 - 2ac + c^2 - a^2 - 2ac + 2bc + 2ab - c^2 = -2(2ac-ab-bc) = 0</math><br />
这说明<math>(a-c)^2 = (a+c)(a+c-2b)</math>。<br />
又因为<math>a+c, a-c, a+c-2b</math>均为正数，所以<math>\lg (a+c) + \lg (a+c-2b) = 2 \lg (a-c)</math>。<br />
所以<math>\lg (a+c), \lg (a-c), \lg (a+c-2b)</math>成等差数列。
 </p>
</div>

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：已知等差数列<math>\{a_n\}</math>的公差大于0，求满足<math>a_3 a_4 = 117, a_2 + a_5 = 22</math>。<br />
(1) 求数列<math>\{a_n\}</math>的通项公式。<br />
(2) 若数列<math>\{b_n\}</math>满足<math>b_n = \frac{2n^2-n}{n+c}</math>。判断是否存在非零实数c，使得数列<math>\{b_n\}</math>为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由。

=== 需要简单转化和整体代换的递推关系 ===
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_{n+1}^2 = a_n^2 + 4</math>，且<math>a_1 = 1, a_n > 0</math>，求<math>a_n</math>的表达式。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
已知数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_1 = \frac 1 3, a_{n+1} = \frac{a_n}{2 a_n + 1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)</math>，求<math>\frac{a_3 + a_{1005}}{a_3 a_{1005}}</math>的值。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
已知数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_1 = 1, a_n - a_{n+1} = \frac{a_{n+1} - 2}{n}</math>，求<math>a_{10}</math>的值。

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：
已知正项数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_1 = 3, \sqrt[n+1]{a_{n+1}} \sqrt[n]{a_n} = 2</math>，求<math>a_{10}</math>的值。

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：在数列<math>\{a_n\}</math>中，<math>a_1 = 1, 3 a_n a_{n-1} + a_n - a_{n-1} = 0 \quad (n \ge 2, n \in \mathbb{N}^*)</math>。<br />
(1) 证明数列<math>\{ \frac{1}{a_n} \}</math>是等差数列。<br />
(2) 求数列<math>\{a_n\}</math>的通项公式。<br />
(3) 若<math>\lambda a_n + \frac 1 a_n \ge \lambda</math>对任意的<math>n \ge 2</math>恒成立，求实数<math>\lambda</math>的取值范围。

=== 简单的同余性质 ===
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：已知数列<math>\{a_n\}</math>是首项为3，公差为<math>d \quad (d \in \mathbb{R}^*)</math>的等差数列。若2019是该数列的一项，则公差不可能是(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.2；B.3；C.4；D.5

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：已知在无穷等差数列<math>\{a_n\}</math>中，首项<math>a_1 = 3</math>，公差<math>d = -5</math>。依次取出其中序号能被4除余3的项，组成数列<math>\{b_n\}</math>。<br />
(1) 求<math>b_1</math>和<math>b_2</math>的值。<br />
(2) 求<math>\{b_n\}</math>的通项公式。<br />
(3) <math>\{b_n\}</math>中的第503项是<math>\{a_n\}</math>中的第几项？

== 补充习题 ==
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* 若数列<math>\{a_n^2\}</math>是等差数列，则称数列<math>\{a_n\}</math>是“等方差数列”。下列判断中正确的有(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.常数列是等方差数列<br />
B.若数列<math>\{a_n\}</math>是等方差数列，则数列<math>\{a_n^2\}</math>是等差数列<br />
C.若数列<math>\{a_n\}</math>是等方差数列，则数列<math>\{a_n^2\}</math>是等方差数列<br />
D.若数列<math>\{a_n\}</math>是等方差数列，则数列<math>\{a_{2n}\}</math>是等方差数列

* 设等差数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_3 + a_7 = 36, a_4 + a_6 = 275</math>，且<math>a_n a_{n+1}</math>有最小值，求这个最小值。

* 已知数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_1 = 1, a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 1} \quad (n \in \mathbb{N}^+)</math>，求<math>a_{10}</math>的值。

* 已知正项数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_1 = 1, (a_n + a_{n+1})(a_n - a_{n+1}) = -1</math>，求<math>a_{10}</math>的值。

* 已知正项数列<math>\{a_n\}</math>满足<math>a_1 = 1, \frac{1}{a_{n+1}^2 + 1} = \frac{a_n^2 + 2}{a_n^2 + 1}</math>，求<math>a_{10}</math>的值。

* 观察给出的规律，求下列数列的第100项的值：
:1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

== 参见 ==
* [[高中数学/不等式与数列/多阶等差数列|多阶等差数列]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|等差数列}}

{{DEFAULTSORT:arithmetic sequence}}
[[category:数列]]
[[category:高中数学]]