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== 阅读指南 ==
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希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

=== 预备知识 ===
阅读本节，需要先学习有关[[高中数学/不等式与数列/数列与通项公式的概念|数列与通项公式的概念]]。

=== 考试要求 ===

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
# 理想条件下，细胞对半分裂的个数可以组成下面的数列：<math>1, 2, 4, 8, \cdots </math>
# 一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒成为第二轮，以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：<math>1, 20, 20^2, 20^3, \cdots</math>。

可以看到，这些数列都有一个特点：从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数。

=== 定义与基本概念 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么称这个数列为'''等比数列'''或'''几何数列'''（'''geometric sequence'''），这个非零的常数叫做等比数列的'''公比'''（'''common ratio'''）。</font><ref name="人教版课本2003年高中数学_等比数列">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section=第3章“数列”第3.4节“等比数列”和第3.5节“等比数列的前n项和” |pages=122-129 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>
</blockquote>

如果已知等比数列<math>\{a_n\}</math>的首项<math>a_1</math>和公比<math>q \quad (q \neq 0)</math>，通过依次倒推的方法，可以得到等比数列的通项公式：<br />
<math>a_n = a_{n-1} q = (a_{n-2} q) q = ((a_{n-3} q) q) q = ... = a_1 q^{n-1}</math>。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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以<math>a_1</math>为首项、<math>q \quad (q \neq 0)</math>为公比的等比数列的通项公式为：<math>a_n = a_1 q^{n-1}, \quad n \in \mathbb{Z}^+</math><ref name="人教版课本2003年高中数学_等比数列" />
</blockquote>

=== 待定系数法求等比数列的通项公式 ===

=== 错位相减法与等比数列前n项和公式 ===
对于等比数列<math>a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n, \cdots</math>，它的前n项的和是<br />
<math>S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n</math><br />
根据等比数列的通项公式，上面的式子可以写成<br />
<math>S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^{n-1} + a_1 q^n</math>…………①<br />
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可以得到：<br />
<math>qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} + a_1 q_n</math>…………②<br />
①、②的右边有很多相同的项，用①分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得<math>\left(1-q\right)S_n = a_1 - a_1 q^n</math><br />
当<math>q\ne 1</math>时，等比数列前n项和的公式为<math>S_n = \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q}(q \neq 1)</math><br />
因为<math>a_n = a_1 q^{n-1}</math>，所以上面的公式还可以写成<math>S_n = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}</math>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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以<math>a_1</math>为首项、<math>q \quad (q \neq 0)</math>为公比的等比数列的前n项和公式为：<math>S_n = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}, \quad n \in \mathbb{Z}^+</math><ref name="人教版课本2003年高中数学_等比数列" />
</blockquote>

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
[[w:国际象棋|国际象棋]]起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1粒麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的2倍，直到第64个格子，请满足我的要求。”国王认为这个要求不高，就同意了。根据调查，目前世界小麦年产量为6亿吨。如果1000粒麦子的质量是40g，请判断国王能否实现它的诺言。<ref>{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section=第3章“数列”引言 |pages=105 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>

<!-- 本小节例题的解答 -->
<div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>解答：<br />
我们分析一下，如果把各个格所放的麦粒看做一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。由<math>a_1 = 1, q = 2, n = 64</math>，可得<math>S_{64} = \frac{1 \times \left( 1 - 2^{64} \right)}{1-2} = 2^{64}-1</math>。这个数很大，超过了<math>1.84 \times 10^19</math>，估计一千粒麦子的质量约为40克，那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨。因此，国王根本不能实现他的诺言。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
答案：国王不能实现他的诺言。
</div>
<div class="collapsible remarks" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 点评：这毕竟只是个故事。国王的脾气可能并不好，欺负国王没文化是很危险的。
</div>

== 常用结论与常见模型 ==
=== 等比数列通项公式的变形 ===

=== 等比数列的常用性质 ===

=== 等比数列前n项和公式的变形 ===

=== 等比数列前n项和的常用性质 ===

=== 等比中项 ===
与[[高中数学/不等式与数列/等差数列|等差数列]]中等差中项的概念类似，如果在2个数a和b中间插入一个数g，使a、g、b按顺序成为一个等比数列，那么g叫做a和b的'''等比中项'''。

=== 等比数列常用判定方法 ===

== 补充习题 ==
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[[File: Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|等比数列}}

{{DEFAULTSORT: geometric sequences}}
[[category:数列]]
[[category:高中数学]]