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== 阅读指南 ==
本节介绍的内容属于高中数学的拓展知识，并不要求大多数中学生了解。

万能公式在后续的[[w:积分学|积分学]]课程中会有一定的用途，是[[w:三角换元法|三角换元]]的一种常见技巧。三倍角公式则不是很重要，也不需要记忆，但其推导不算复杂，可以作为提升基础的例题。

== 基础知识 ==
=== 万能公式 ===
'''万能公式'''也叫'''正切半角公式'''（'''tangent half-angle formulas'''），是一组只用正切函数表示其它三角函数的公式统称，它们形式相似，都只含有原角大小一半的正切值。

<math>\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2 \alpha}</math>

<math>\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha}</math>

<math>\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2 \alpha}</math>

=== 三倍角的正弦、余弦、正切公式 ===
求一个角的三倍的三角函数值，可以套用2次二倍角公式，从而得到'''三倍角公式'''（'''formulae for triple angles'''）。

<math>
\begin{align}
\sin (3x) &= \sin (2x + x) \\
&= \sin (2x) \cos x + \cos (2x) \sin x \\
&= (2 \sin x \cos x) \cos x + (1 - 2 \sin^2 x) \sin x \\
&= 2 \sin x \cos^2 x + \sin x - 2 \sin^3 x \\
&= 2 \sin x (1 - sin^2 x) + \sin x - 2 \sin^3 x \\
&= 2 \sin x - 2 \sin^3 x + \sin x - 2 \sin^3 x \\
&= 3 \sin x - 4 \sin^3 x
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
\cos (3x) &= \cos (2x + x) \\
&= \cos (2x) \cos x - \sin (2x) \sin x \\
&= (1 - 2 \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x \\
&= \cos x - 2 \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x \\
&= \cos x - 4 \sin^2 x \cos x \\
&= \cos x - 4 (1 - \cos^2 x) \cos x \\
&= \cos x - 4 \cos x + 4 \cos^2 x \cos x \\
&= 4 \cos^3 x - 3 \cos x
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
\tan (3x) &= \tan (2x + x) \\
&= \frac{\tan (2x) + \tan x}{1 - \tan (2x) \tan x} \\
&= \frac{\frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x}{1 - \frac{2 \tan x}{1 - tan^2 x} \tan x} \\
&= \frac{\frac{2 \tan x + (1 - \tan^2 x) \tan x}{1 - tan^x}}{\frac{(1 - tan^2 x) - 2 \tan x \tan x}{1 - tan^x}} \\
&= \frac{2 \tan x + \tan x - \tan^2 x \tan x}{1 - tan^2 x - 2 \tan^2 x} \\
&= \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}
\end{align}
</math>

三倍角的正、余弦公式还有另一种形式，但需要在推导过程中对2个同类型三角函数之和或之差使用[[高中数学/函数与三角/和差化积与积化和差公式|和差化积]]技巧：

<math>
\begin{align}
\sin (3x) &= 3 \sin x - 4 \sin^3 x \\
&= 4 (\sin x)(\frac 3 4 - \sin^2 x) \\
&= 4 \sin x ((\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sin^2 x) \\
&= 4 \sin x (\sin^2 \frac{\pi}{3} - \sin^2 x) \\
&= 4 \sin x (\sin \frac{\pi}{3} + \sin x) (\sin \frac{\pi}{3} - \sin x) \\
&= 4 \sin x \cdot 2 \sin (\frac{\pi}{6} + \frac x 2) \cos (\frac{\pi}{6} - \frac x 2) \cdot 2 \sin (\frac{\pi}{6} - \frac x 2) \cos (\frac{\pi}{6} + \frac x 2) \\
&= 4 \sin x \cdot 2 \sin (\frac{\pi}{6} + \frac x 2) \cos (\frac{\pi}{6} + \frac x 2) \cdot 2 \sin (\frac{\pi}{6} - \frac x 2) \cos (\frac{\pi}{6} - \frac x 2) \\
&= 4 \sin x \cdot \sin (2 (\frac{\pi}{6} + \frac x 2)) \cdot \sin (2 (\frac{\pi}{6} - \frac x 2)) \\
&= 4 \sin x \sin (\frac{\pi}{3} + x) \sin (\frac{\pi}{3} - x) \\
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
\cos (3x) &= 4 \cos^3 x - 3 \cos x \\
&= 4 \cos x (\cos^2 x - \frac 3 4) \\
&= 4 \cos x (\cos^2 x - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) \\
&= 4 \cos x (\cos^2 x - \cos^2 \frac{\pi}{6}) \\
&= 4 \cos x (\cos x + \cos \frac{\pi}{6}) (\cos x - \cos \frac{\pi}{6}) \\
&= 4 \cos x \cdot 2 \cos (\frac x 2 + \frac{\pi}{12}) \cos (\frac x 2 - \frac{\pi}{12}) \cdot (-2 \sin (\frac x 2 + \frac{\pi}{12}) \sin (\frac x 2 - \frac{\pi}{12})) \\
&= 4 \cos x \cdot 2 \sin (\frac x 2 + \frac{\pi}{12}) \cos (\frac x 2 + \frac{\pi}{12}) \cdot (-2 \sin (\frac x 2 - \frac{\pi}{12}) \cos (\frac x 2 - \frac{\pi}{12})) \\
&= 4 \cos x \cdot \sin (2 (\frac x 2 + \frac{\pi}{12})) \cdot (- \sin (2 (\frac x 2 - \frac{\pi}{12}))) \\
&= 4 \cos x \cdot \sin (x + \frac{\pi}{6}) \cdot (- \sin (x - \frac{\pi}{6})) \\
&= 4 \cos x \sin (\frac{\pi}{6} + x) \sin (\frac{\pi}{6} - x) \\
&= 4 \cos x \cos (\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + x)) \cos (\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - x)) \\
&= 4 \cos x \cos (\frac{\pi}{3} - x) \cos (\frac{\pi}{3} + x)
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
\tan 3x &= \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \\
&= \frac{4 \sin x \cdot \sin (\frac{\pi}{3} + x) \cdot \sin (\frac{\pi}{3} - x)}{4 \cos x \cos (\frac{\pi}{3} - x) \cos (\frac{\pi}{3} + x)} \\
&= \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin (\frac{\pi}{3} + x)}{\cos (\frac{\pi}{3} + x)} \cdot \frac{\sin (\frac{\pi}{3} - x)}{\cos (\frac{\pi}{3} - x)} \\
&= \tan x \tan (\frac{\pi}{3} + x) \tan (\frac{\pi}{3} - x)
\end{align}
</math>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]]
三倍角的常见公式列举如下：
* <math>\sin (3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x = 4 \sin x \sin (\frac{\pi}{3} + x) \sin (\frac{\pi}{3} - x)</math>
* <math>\cos (3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x = 4 \cos x \cos (\frac{\pi}{3} - x) \cos (\frac{\pi}{3} + x)</math>
* <math>\tan 3x = \tan x \tan (\frac{\pi}{3} + x) \tan (\frac{\pi}{3} - x)</math>
</blockquote>

上述正弦和余弦的三倍角公式的前半部分都比较简单，考试时万一需要用到，完全可以现场推导；后半部分形式统一，比较好记，但是推导步骤较多。

<!-- 本小结例题 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题：在三角形ABC中，角A、B、C的对边长度分别是a、b、c。已知<math>a = 32, b = \sqrt{2}, A = 2B</math>，求c的值。

<!-- 本小结例题的解答 -->
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>解答：由正弦定理可知：<br />
<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad \frac{32}{\sin 2B} = \frac{16 \sqrt{2}}{\sin B}\quad \Rightarrow \quad \frac{32}{2 \sin B \cos B} = \frac{16 \sqrt{2}}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math><br />
因为<math>\sin B > 0</math>，所以<math>\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。<br />
再用一次正弦定理可得：<br />
<math>\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad c = \frac{b \sin C}{\sin B} = \frac{32 \times \sin (A+B)}{2} = 16 \sin (3B)</math><br />
使用正弦函数的三倍角公式可得：<br />
<math>c = 16 \sin (3B) = 16 (3 \sin B - 4 \sin^3 B) = 16 (3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 (\frac{\sqrt{2}}{2})^3) = 8 \sqrt{2}
</math>
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
答案：<math>8 \sqrt{2}</math>。
</div>

=== 多倍角公式简介 ===
n倍角的正弦、余弦公式是比较繁琐的求和式，需要使用[[高中数学/组合与概率/组合|二项式系数]]表示，求和时还需要区分奇数情形与偶数情形：
:<math>\begin{align}
\sin (n\theta) &= \sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k} \cos^{n-k} \theta \sin^k \theta \\
\cos (n\theta) &= \sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k} \cos^{n-k} \theta \sin^k \theta
\end{align}</math>
上式中的求和指标k应该取遍满足式子中奇偶条件的所有不超过n的非负整数。

[[w:巴夫努提·列沃维奇·切比雪夫|巴夫努提·切比雪夫]]通过递归求解的思路，也得到了同样的结果。

例如，他将<math>\cos (nx)</math>写成<math>\cos ((n - 1)x)</math>、<math>\cos ((n - 2)x)</math>和<math>\cos x</math>的如下递推式：<br />
:<math>\cos (nx) = 2 \cdot \cos x \cdot \cos ((n - 1)x) - \cos ((n - 2)x)</math>

类似地，还有：<br />
:<math>\sin (nx) = 2 \cdot \cos x \cdot \sin ((n - 1)x) - \sin ((n - 2)x)</math>
:<math>\tan (nx) = \frac{\tan ((n-1)x) + \tan x}{1 - \tan ((n-1)x) \tan x}</math>

[[File:Crystal Clear app kdict.png | Crystal Clear app kdict | 50px]]
知识背景：<math>\cos (n \theta)</math>和<math>\cos \theta</math>满足的函数关系<math>T_n (x) = f_n(\cos \theta)</math>是一种以n为参数的知名多项式，叫做'''第一类[[w:切比雪夫多项式|切比雪夫多项式]]'''。

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|万能公式}}

{{DEFAULTSORT:tangent half-angle formulas and formulae for triple angles}}
[[category:数学公式与定理]]
[[category:三角函数]]