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学习本节前请确保您对向量有了解。

== 基础知识 ==

=== 复数的引入 ===

我们知道，在实数范围内，方程 <math>x^2+1=0</math> 无解。也就是说，负实数不能求平方根。

但如果我们硬要写出这个方程的根，那么我们会得到

<math> x=\sqrt{-1} </math>

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 <math> x^2 -2 =0</math>这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。那么，为了解这个方程，我们也要引入一种新的数。

为此，我们引入一个数 <math>\mathrm{i}</math>，使得 <math>\mathrm{i}^2=-1</math>，那么上面的这个方程的解就可以写成

<math>  x=i </math>

下一步，我们希望数 <math> \mathrm{i} </math> 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。

因此，把实数 <math>b</math> 与 <math>\mathrm{i} </math> 相乘记作 <math>b\mathrm{i}</math> ；把实数 <math>a</math> 与 <math>b\mathrm{i}</math> 相加，结果记作 <math>a+b\mathrm{i}</math> 。这样，所有我们已经讨论过的数都可以写成 <math>a+b\mathrm{i}</math> 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

=== 复数的定义和分类 ===

{{wquote|'''定义 1：''' 形如 <math>a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})</math> 的数为'''复数'''，其中 <math>\mathrm{i}</math> 叫做'''虚数单位'''，一切复数构成的集合叫做'''复数集'''，用字母 <math>\mathbb{C}</math> 表示。}}

像这样，用 <math>z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})</math> 的形式表示复数 <math>z</math>，就叫做复数的'''代数形式'''。其中 <math>a</math> 叫做 <math>z</math> 的'''实部'''，<math>b</math> 叫做 <math>z</math> 的虚部。

如果 <math>a=0</math>，那么这个复数就被叫做'''纯虚数'''。

我们已经定义的概念有如右图所示的关系。
[[File:Complex number relations.svg|thumb|right|100px|复数关系图]]

=== 复数的几何意义 ===
实数和数轴上的点一一对应，自然地，我们也希望将这样的几何意义拓宽到复数去。

首先，我们说 <math> z_1=a+b\mathrm{i} </math> 和 <math>z_2=c+d\mathrm{i}</math> 相等，当且仅当 <math>a=b</math> 且 <math>c=d</math>。这是十分自然的一个定义。

进而，我们就可以用惟一的有序实数对 <math>\left(a,b\right)</math> 来表示复数，而这样的实数对又和平面直角坐标系中的点一一对应。这样，我们就在 '''复数 <math>z=a+b\mathrm{i}</math> 和点 <math>\left(a,b\right)</math> 之间建立了一一对应关系'''。

同时，我们又知道，向量的坐标表示也是一个有序实数对，因此我们也能在复数和向量之间建立一一对应关系。也就是说，复数 <math>z=a+b\mathrm{i}</math> 和点 <math>Z(a,b)</math>，和向量 <math>\overrightarrow{OZ}</math> 之间，都有一一对应关系。

因此，我们可以把向量的'''模'''的概念，即 <math>|\overrightarrow{OZ}|=\sqrt{a^2+b^2}</math>，迁移到复数来。

{{wquote|'''定义 2''': 复数 <math>z=a+b\mathrm{i}</math> 的 '''模''' 为 <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> }}

=== 复数的基本运算 ===




== 拓展知识 ==
=== 复数的三角形式 ===

== 习题 ==
=== 题目 ===
==== 基础习题 ====
# 计算：<math>\frac{3+4\mathrm{i}}{7-2\mathrm{i}}</math>

==== 拓展习题 ====
=== 解析 ===