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== 阅读指南 ==
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希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

在高中数学的导数相关章节中，其学习目的主要在于考察下列3类问题（按重要性顺序排列）<ref>{{cite journal |url= https://www.researchgate.net/scientific-contributions/haijuan-lu-2172098702 |title=浅淡导数在高中数学解题中的运用 |author=陆海娟 |journal=教学方法创新与实践 |issue=1 |volume=3 |doi=10.26549/jxffcxysj.v3i1.3166 |language=zh-cn |year=2020}}</ref>：
* 判断函数单调性与求解极值。（参见[[高中数学/微积分初步/导数与单调性和极值的关系|导数与单调性和极值的关系]]章节。）
* 解决曲线切线求解的问题。
* 解决不等式问题。（参见[[高中数学/微积分初步/利用导数证明不等式|利用导数证明不等式]]章节。）

其中第2类问题体现了导数最直接、最基础的几何意义，也就是本节的要讨论的内容。

=== 预备知识 ===
阅读本节，需要先学习有关[[高中数学/微积分初步/一阶导数的概念与求导法则|导数几何意义]]、[[高中数学/平面解析几何/直线方程知识补充|直线方程]]的知识。此外，本节的例题、习题大多都需要求解代数方程组或简单的超越方程组，读者需要熟悉[[高中数学/预备知识/算术与代数#解方程组|解方程组]]知识中有关“加减消元”、“代入消元”、“[[高中数学/函数与三角/对数的概念与运算|对数变形]]”的技巧。

=== 考试要求 ===
本节中所涉及的最难的问题是2个曲线的公共切线的求解，而且计算过程中可能会遇到同时含对数、指数符号的方程组。不过这种问题一般只会出现在较难的填空题或解答题中，所占比例并不多。一般的求导数切线方程的问题还是不难的，只要熟悉导数的几何含义、直线方程的变形与求解就能比较轻松搞定。

== 基础知识 ==
导数与切线方程的问题，主要分为下列3种基本题型：
* 求曲线在某点处的切线方程。
* 求曲线过某点的切线方程。
* 求2条曲线的公切线方程。

解决这些问题除了应用求导公式，一般还要结合导数的几何意义，即曲线在某点处的切线的斜率等于对应函数在切点处的导函数。我们可以使用代数式将导数的几何意义重新表示为：
: <math>k = f'(x_0)</math>
其中k表示切线的斜率，<math>x_0</math>表示切点的横坐标。

理解导数的几何意义，以及学会灵活使用这个关系式，都是解决这类涉及曲线切线问题的关键。

我们指出2个注意事项：
* 对于求曲线过某点处的切线方程的问题，一定要先判断一下这个点在不在曲线上，情况不同则后续的做法也会不同。
* 相切是一个局部性质，切线可能与曲线在不同位置有多个交点。换句话说，直线与曲线公共点的个数不是切线的本质。

接下来，我们分别来看这些具体问题。

=== 过曲线上一点的切线方程 ===
这种问题就是已知曲线方程及切点位置的横坐标，求切线方程。其通用解法步骤为：
# 确定切点。
# 根据导数的几何意义“切线的斜率等于曲线在切点处的导数”求出切线的斜率。
# 写出切线方程。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知函数<math>f(x) = \frac 2 3 x^3 - 7x + \frac 2 3</math>；求曲线y = f(x)在x = 2处的切线方程。<br />
（分析与提示：“曲线在点x = 2处的切线”的意思是切点的横坐标是2。根据切点在曲线上，把x = 2代入曲线方程，就可以求出切点的纵坐标。然后根据导数的几何意义求出切线的斜率k。最后使用点斜式写出切线的方程。）

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
求过原点且与函数<math>f(x) = \frac 1 x</math>相切的直线方程。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
已知函数f(x)满足<math>f(\frac x 2) = x^3 - 3x</math>，求f(x)的图象在x = 1处的切线斜率。

=== 曲线过一般定点的切线方程 ===

对于更一般的曲线切线过定点的求解问题，我们也可以得到下列通用做法：
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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求已知平面曲线<math>y = f(x)</math>过指定点的切线方程时，需要先判断给定的点是否在已知曲线上：
* 如果是，则化归为前面讨论过的情形。即只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率即可。
* 如果不是，则需要用待定系数法设经过指定点的直线方程，然后根据相切的条件列式求解：
:# 假设切点坐标为<math>P(x_0, y_0)</math>。
:# 根据<math>P(x_0, y_0)</math>和已知定点的信息，设出通过这2点的直线方程的斜率表达式k。
:# 求出曲线在P点处的导数<math>f'(x_0)</math>。
:# 根据导数的几何意义“切线的斜率等于曲线在切点处的导数”，解方程或解方程组求出切线的斜率。
:# 根据得到的斜率值，写出最终的切线方程。
</blockquote>

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注意：(1)如果仅是已知切线过某定点，不能说明该定点就是曲线的切点，所以必须先通过代入曲线方程检验的方法判断其确切类型。(2)如果点不在曲线上，那这个点肯定不是切点，求切线方程的求解办法会明显不同于点在曲线上时的做法。(3)注意切线斜率可能不存在的情况（比如单位圆的上半圆圆弧<math>y = \sqrt{1 - x^2}</math>的左右2个端点会有垂直的切线）。虽然一般中学考试中不会遇到它，但是为了论述严谨，最好还是不应该遗漏对它的分析。同时为避免长篇大论，可以只作一句简要说明。

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
已知函数<math>f(x) = e^x - 2x + 2</math>，求过点P(0, 2)且与y = f(x)相切的直线方程。

<!-- 本小节例题的解答 -->
<div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答：<br />
 记点P的横坐标为<math>x_P</math>，纵坐标为<math>y_P</math>。由题意可知<math>x_P = 0, y_P = 2</math>。<br />
 我们先判断给定的点P是否在曲线上。<br />
 假设P点在曲线上，那么可以尝试将P点的横坐标<math>x_P = 0</math>代入函数f(x)进行验证：<br />
 <math>f(0) = e^0 - 2 \cdot 0 + 2 \neq 2 = y_P</math><br />
 由于计算出的y值与P点的实际y值不一致，所以说明点P不是切点。<br />
 另设切点的坐标为<math>(x_0, y_0)</math>。<br />
 结合曲线形状以及切线必过的P点相对于曲线的位置关系，易知切线斜率是存在的。<br />
 首先，由于切点在函数曲线上，所以其坐标一定满足函数关系式：<br />
 <math>y_0 = f(x_0) \quad \Rightarrow \quad y_0 = e^{x_0} - 2 x_0 + 2</math><br />
 其次，易知f'(x) = e^x - 2，并且根据在切点处的导数值等于切线斜率可以得到：<br />
 <math>f'(x_0) = k \quad \Rightarrow \quad e^{x_0} - 2 = k</math><br />
 最后，由于切线同时通过切点和给定点P，所以切线的斜率k可以表示为：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  k = \frac{y_0 - y_P}{x_0 - x_P} = \frac{y_0 - 2}{x_0 - 0} = \frac{f(x_0) - 2}{x_0} \\
  = \frac{(e^{x_0} - 2 x_0 + 2) - 2}{x_0} = \frac{e^{x_0}}{x_0} - 2
 \end{array}
 </math><br />
 因为k的2种表达式应该取值相同，所以：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  e^{x_0} - 2 = k = \frac{e^{x_0}}{x_0} - 2
  \quad \Rightarrow \quad e^{x_0} = \frac{e^{x_0}}{x_0} \\
  \Rightarrow e^{x_0} (1 - \frac{1}{x_0}) = 0
  \quad \Rightarrow \quad e^{x_0} (x_0 - 1) = 0
 \end{array}
 </math><br />
 因为<math>\forall x \in \mathbb{R}, e^{x} > 0</math>，所以<math>x_0 - 1 = 0</math>，即<math>x_0 = 1</math>。<br />
 进而<math>y_0 = f(x_0) = f(1) = e, k = f'(x_0) = f'(1) = e - 2</math>。故所求切线为：<br />
 <math>y - y_0 = k (x - x_0) \quad \Rightarrow \quad y - e = (e-2) (x-1) \quad \Rightarrow \quad y = (e-2) x + 2</math>
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：y = (e-2) x + 2。</p>
</div>

=== 简单的含参求解问题 ===
求参数值的问题一般都是通过列方程求解。

已知切线方程求参数的值，一般仍然是根据以下2个等量关系来列式求解：
* 根据导数的几何意义，切线的斜率等于导函数在切点处的函数值。
* 根据切点既在切线上，又在曲线上列出等式。

=== 过公切点的公切线问题 ===
当2个函数的两条切线重合时，就可以讨论公切线与公切点的概念。对函数f(x)和g(x)，它们的公共切线L是既与曲线y = f(x)相切，又与曲线y = g(x)相切的直线，简称为公切线。如果公切线与2条已知曲线的交点是公共的（重合的），这样的交点就叫做公共切点，简称公切点。

本小节我们侧重分析只涉及公切点的切线方程求解，因为这种问题较为容易。

对于切点重合的情形，设出切点<math>(x_0, y_0)</math>，然后联立下列方程组即可求出公切点坐标：
: <math>
\left\{
\begin{array}{l}
 f(x_0) = g(x_0) \\
 f'(x_0) = g'(x_0)
\end{array}
\right.
</math><br />
而代表切线斜率的f'(x_0)也能在上述求解过程中顺便得到。最后写出所求切线方程的斜截式即可完成要求。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
设<math>f(x) = ax^2 + 1 \quad (a > 0), g(x) = x^3 + bx</math>。已知曲线y = f(x)与y = g(x)在它们的相交点P(1, c)处具有公共切线，求a和b的值。

<!-- 本小节例题1的解答 -->
<div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答：<br />
 首先，根据题中所给的函数都是多项式函数，其导数值不可能在某处取值为无穷大（一旦这样会形成垂直的切线），所以其图象公切线的斜率肯定是存在的。<br />
 由求导也可知<math>f'(x) = 2ax, g'(x) = 3x^2 + b</math>。<br />
 根据题意可得：<br />
 <math>
 \left\{
 \begin{array}{l}
  f(1) = g(1) \\
  f'(1) = g'(1)
 \end{array}
 \right.
 \Rightarrow
 \left\{
 \begin{array}{l}
  2a = 3+b \\
  a+1 = 1+b
 \end{array}
 \right.
 </math><br />
 解得a = b = 3。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：a = b = 3。</p>
</div>

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
已知函数<math>f(x) = \ln x - \frac{x+1}{x-1}</math>。
:(1) 讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有2个零点；
:(2) 设<math>x_0</math>是f(x)的一个零点，证明曲线<math>y = \ln x</math>在点<math>A (x_0, \ln x_0)</math>处的切线也是曲线<math>y = e^x</math>的切线。
（出自2019年中国大陆新课标高考理科数学全国卷Ⅱ第20题（解答题之“必考题”部分倒数第2题）。）

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
记f'(x)、g'(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数。若存在<math>x_0 \in \mathbb{R}</math>，满足<math>f(x_0) = g(x_0)</math>且<math>f'(x_0) = g'(x_0)</math>，则称x_0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”。
:(1) 证明：函数f(x) = x与<math>g(x) = x^2 + 2x - 2</math>不存在“S点”；
:(2) 若函数<math>f(x) = ax^2 - 1</math>与<math>g(x) = \ln x</math>存在“S点”，求实数a的值；
:(3) 已知函数<math>f(x) = - x^2 + a, g(x) = \frac{b e^x}{x}</math>。对任意a > 0，判断是否存在b > 0，使函数f(x)与g(x)在区间<math>(0, + \infty)</math>内存在“S点”，并说明理由。
（出自2018年中国大陆高考数学江苏卷数学Ⅰ第19题（倒数第2题）。注：当时江苏省文、理科高中学生都需要考数学Ⅰ卷，数学Ⅱ卷则是仅限于考察理科生的附加题。）

=== 一般的公切线问题 ===

非公切点的公切线的求法主要有下列3种思路（都要先设好2个交点的坐标）：
* 以直线为核心，在2个交点处都分别联立一组方程。
* 同时考虑2个交点来构造斜截式直线方程，并利用导数的几何意义得到在2个交点处的约束条件。
* 利用导数值分别计算出2个曲线的切线方程，通过令它们的各项系数对应相等来建立方程组。

思路1是先设出直线方程，然后分别在每个交点处找直线和曲线的各种关系、列出方程组。所以这个思路就是将问题的要点拆散，然后各个击破。虽然易于理解，但是做起来麻烦，因为需要求解2套方程组。<br />
思路2则相当于是思路一的步骤简化版，将约束方程都一次性列出来，而不是按2个不同的点去分批考虑它们。<br />
思路3利用了公切线的唯一性。

我们先通过1个具体例题来分析和比较这3种思路的差异：

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
若直线y = kx + b是曲线<math>y = \ln x + 2</math>的切线，也是曲线<math>y = \ln (x + 1)</math>的切线，则b = (&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
（出自2016年中国大陆高考理科数学重庆卷第16题（填空题最后一题）。）

<!-- 本小节例题1的解答 -->
<div class="collapsible hints" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>分析与提示1：<br />
 首先由题意可知，2个曲线的公切线存在，且不是平行于y轴的竖直直线（因为已经为其设置好了斜率k，证明斜率是存在的），所以我们不需要再去单独讨论公切线斜率不存在的特殊情形。<br />
 我们先分析最简单的一种可行思路，也就是把问题拆成2个子问题考虑。<br />
 求2条曲线的公切线，对于初学者来说，如果同时考虑2条曲线与直线相切，头绪可能会比较乱。<br />
 为了使思路更清晰，可以把2条曲线分开考虑。也就是先分析其中一条曲线与直线的相切条件，再分析另一条曲线与这条直线的相切条件。这样就转化为2个相对独立的简单切线问题了。<br />
 设出切线L的方程后，先考虑L与第1条曲线相切。与其它切线问题一样，借助导数的几何意义以及根据切点在切线上又在曲线上这一特点，可以列出2个方程。再考虑L与第2条曲线相切的事实，使用同样的方法又可以列出2个方程。求解这些方程，即可得到所有未知参数。<br />
 这样一来，我们只使用解决相切问题的普通解法，就可以顺利求出2条曲线的公切线，只不过分析了2次相切条件罢了。<br />
 值得一提的是，无论2个切点是否重合，这种方法都是可行的。
 </p>
</div>
<div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答1：<br />
 为了区分2条曲线，记<math>f(x) = \ln x + 2 \quad (x > 0), g(x) = \ln (x + 1) \quad (x > -1)</math>。<br />
 假设所求切线方程与y = f(x)相切于点<math>(x_1, y_1)</math>，与y = g(x)相切于点<math>(x_2, y_2)</math><br />
 易得<math>f'(x) = \frac 1 x , g'(x) = \frac{1}{x + 1}</math>。<br />
 先考虑切线y = kx + b与曲线y = f(x)的相切条件。<br />
 根据导数的几何意义“切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值”，可以列出等式：<br />
 <math>k = \frac{1}{x_1}</math><br />
 再根据切点在切线上，又在曲线上，所以其坐标同时满足二者的方程，可以列出等式：<br />
 <math>
 \left\{
 \begin{array}{l}
  f(x_1) = y_1 = k x_1 + b \\
  \ln x_1 + 2 = k x_1 + b
 \end{array}
 \right.
 </math><br />
 目前列出了2个方程，方程中有3个未知参数，所以方程个数明显还不够，需要继续列方程。<br />
 同理，考虑切线y = kx + b与曲线y = g(x)相切的条件，可得：<br />
 <math>
 \left\{
 \begin{array}{l}
  k = \frac{1}{x_2 + 1} \\
  g(x_2) = y_2 = k x_2 + b \quad \Rightarrow \quad \ln (x_2 + 1) = k x_2 + b
 \end{array}
 \right.
 </math><br />
 现在有了4个独立方程，共涉及未知4个参数，恰好可以组成方程组可以求出各个未知参数的值。我们将其汇总如下：<br />
 <math>
 \left\{
 \begin{array}{l}
  k = \frac{1}{x_1} \\
  k = \frac{1}{x_2 + 1} \\
  \ln x_1 + 2 = k x_1 + b \\
  \ln (x_2 + 1) = k x_2 + b
 \end{array}
 \right.
 </math><br />
 由于解这个方程组可能略有难度，我们在此展示其求解步骤。<br />
 先由其中前2式可得：<br />
 <math>x_1 = x_2 + 1</math><br />
 再由其中后2式相减可得：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  k = \frac{\ln x_1 + 2 - \ln (x_2 + 1)}{x_1 - x_2} = \frac{\ln (\frac{x_1}{x_2 + 1}) + 2}{x_1 - x_2} \\
  = \frac{\ln (\frac{x_1}{x_1}) + 2}{x_1 - x_2} = \frac{\ln 1 + 2}{x_1 - x_2} = \frac{\ln 1 + 2}{1} = 2
 \end{array}
 </math><br />
 进而可得<math>x_1 = \frac 1 k = \frac 1 2, x_2 = x_1 - 1 = - \frac 1 2</math>。<br />
 将<math>k, x_1, x_2</math>的值一起代入方程<math>\ln x_1 + 2 = k x_1 + b</math>，可得：<br />
 <math>b = \ln x_1 + 2 - k x_1 = \ln \frac 1 2 + 2 - 2 \cdot \frac 1 2 = - \ln 2 + 2 - 1 = 1 - \ln 2</math>
 </p>
</div>
<div class="collapsible hints" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>分析与提示2：第2种方法是设置好切点坐标后，利用2个切点坐标确定k的表达式。这种方法会得到与前一种思路相同的方程组，但是步骤简短一些，缺点是需要保证2个切点的位置不重合才行。</p>
</div>
<div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答2：<br />
 记<math>f(x) = \ln x + 2 \quad (x > 0), g(x) = \ln (x+1) \quad (x > -1)</math>，并记题中所言的切线为L。<br />
 设此直线L与曲线y = f(x)的切点为<math>(x_1, y_1)</math>，与曲线y = g(x)的切点为<math>(x_2, y_2)</math>。<br />
 由题中所设直线与对数型曲线的解析式易知L的斜率k是存在的，且公切线不可能切于同一个公共切点，即有理由保证<math>x_1 \neq x_2</math>。<br />
 于是k可以用2个端点的坐标表达如下：<br />
 <math>k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}</math><br />
 由于L与y = f(x)相切于点<math>(x_1, y_1)</math>，并且易知<math>f'(x) = \frac 1 x</math>，我们可以得到一个导数与切线斜率的相等关系：<br />
 <math>f'(x_1) = k</math><br />
 还可以得到一个函数值在该点相等的关系：<br />
 <math>f(x_1) = y_1 = k x_1 + b</math><br />
 又由于L与y = g(x)相切于另一个点<math>(x_2, y_2)</math>，并且易知<math>g'(x) = \frac{1}{x+1}</math>，我们同样可以得到一个导数与切线斜率的相等关系：<br />
 <math>g'(x_2) = k</math><br />
 同理，还可以得到一个函数值在该点相等的关系：<br />
 <math>g(x_2) = y_2 = k x_2 + b</math><br />
 我们将上述方程汇总如下：<br />
 <math>
 \left\{
 \begin{array}{l}
  f'(x_1) = k \\
  g'(x_2) = k \\
  f(x_1) = k x_1 + b \\
  g(x_2) = k x_2 + b
 \end{array}
 \right.
 \quad \Rightarrow \quad
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \frac{1}{x_1} = k \\
  \frac{1}{x_2 + 1} = k \\
  \ln x_1 + 2 = k x_1 + b \\
  \ln (x_2 + 1) = k x_2 + b
 \end{array}
 \right.
 </math><br />
 这样我们得到了与前一种做法相同的方程组。采用与上一种解法中同样的求解过程，也可以得到<math>k = 2, b = 1 - \ln 2</math>。
 </p>
</div>
<div class="collapsible hints" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>分析与提示3：第3种方法是在2个切点处各设2个切线方程，然后根据题意使2种形式下的切线重合，从而得到公切线满足的条件。采用这种方法也不需要区分2个切点是否重合。</p>
</div>
<div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答3：<br />
 记<math>f(x) = \ln x + 2 \quad (x > 0), g(x) = \ln (x+1) \quad (x > -1)</math>。<br />
 易知<math>f'(x) = \frac 1 x, g'(x) = \frac{1}{x+1}</math>。<br />
 过曲线y = f(x)上的一点<math>(x_1, y_1)</math>的切线方程（点斜式）为：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  y - y_1 = f'(x_1) (x - x_1) \\
  y - (\ln x_1 + 2) = \frac{1}{x_1} (x - x_1) \\
  y = \frac{1}{x_1} x + (\ln x_1 + 1)
 \end{array}
 </math><br />
 过曲线y = g(x)上的一点<math>(x_2, y_2)</math>的切线方程（点斜式）为：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  y - y_2 = g'(x_2) (x - x_2) \\
  y - \ln (x_2 + 1) = \frac{1}{x_2+1} (x - x_2) \\
  y - \ln (x_2 + 1) = \frac{1}{x_2+1} x - \frac{x_2}{x_2+1} \\
  y = \frac{1}{x_2+1} x + (\ln (x_2 + 1) - \frac{x_2}{x_2+1})
 \end{array}
 </math><br />
 记题中所言的切线为L。根据题意，它是上述2条曲线的公切线，所以将y = f'(x)的切线与y = g'(x)的切线重合就能得到L的方程。<br />
 换句话说，将y = f'(x)的切线方程与y = g'(x)的切线方程中的各项系数对应起来，就能得到L应该满足的条件。即两种切线方程的斜率k和截距b应该一一对应相等：<br />
 <math>
 \left\{
 \begin{array}{l}
  k = \frac{1}{x_1} =  \frac{1}{x_2+1} \\
  b = \ln x_1 + 1 = \ln (x_2 + 1) - \frac{x_2}{x_2+1}
 \end{array}
 \right.
 </math><br />
 因为通过这种方法得到的方程组与前2种做法得到的方程组不太一样，我们也顺便单独指出一下此方程组的求解过程。<br />
 由上述方程组中的第1个式子可得<math>x_1 = x_2 + 1</math>。<br />
 将<math>x_1 = x_2 + 1</math>代入方程组中的第2个式子可得：<br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  \ln x_1 + 1 = \ln x_1 - \frac{x_2}{x_1} \\
  \Rightarrow 1 = - \frac{x_2}{x_1} \\
  \Rightarrow x_1 = - x_2 \\
  \Rightarrow x_2 + 1 = - x_2 \\
  \Rightarrow x_2 = - \frac 1 2 \\
  \Rightarrow x_1 = x_2 + 1 = - \frac 1 2 + 1 = \frac 1 2
 \end{array}
 </math><br />
 最后可以利用曲线y = f(x)的切线方程算出其截距b为：<br />
 <math>b = \ln x_1 + 1 = \ln \frac 1 2 + 1 = 1 - \ln 2</math>
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：<math>1 - \ln 2</math>。</p>
</div>
<div class="collapsible remarks" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>点评：
 解决这类问题，需要注意2个问题：(1)切线是否存在斜率；(2)2个切点的位置是否重合会不会影响到解法的有效性，或者说所用的解法会不会遗漏切点重合的情形。对于可能引起漏解的方法，需要作简要说明。<br />
 如果比较方法1与方法2，可以发现虽然二者思路相近，方法2做法比方法1更简明快捷，但是方法2只适用于2个切点明显并不重合的情形。第3种方法令2种切线方程系数对应相等，设的是直线的点斜式方程，它在只需要求解公切线斜率、不需要求解公切线的截距时更好用。最后，所有使用所有上述方法时，严格来说都必须留意是否存在公切线斜率不存在的特殊情况。由官方提供的标准答案就没有做好这一点。
 </p>
</div>

我们将其中较为便携的2种思路的关键步骤分别陈述如下（都假设公切线斜率存在）：

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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同时考虑2个不同交点并设斜截式切线方程的主要步骤（需要保证交点不重合）：
# 设切线斜率为k，再分别设直线与2个函数f(x)和g(x)的切点为<math>P_1 (x_1, y_1), P_2 (x_2, y_2)</math>。
# 分别计算2个函数的导函数f'(x)和g'(x)。
# 最后，根据相切条件可联立并求解下列方程组：
:<math>
\left\{
\begin{array}{l}
 f'(x_1) = g'(x_2) = k \\
 k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \\
 y_1 = f(x_1) \\
 y_2 = g(x_2)
\end{array}
\right.
</math>

令分别在2个点考虑的切线方程各项系数对应相等的求解思路（2个交点可以是重合的）：
# 分别设点求切线：分别设出直线在两已知曲线上的切点的坐标<math>P_1 (x_1, y_1), P_2 (x_2, y_2)</math>，并通过分别计算导函数的方法求出两曲线各自在切点上的切线方程<math>L_1, L_2</math>。
# 建立方程组：根据两曲线的切线重合，推知两切线的斜率和在y轴上的截距都分别相等，进而写出关于切点横坐标<math>x_1, x_2</math>应该满足的一组方程。
# 解方程组：至少求出<math>x_0</math>或<math>x_1</math>其中之一的值。
# 求切线方程：把所求出的切点横坐标值代入所在曲线的切线方程。
</blockquote>

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
设<math>f(x) = e^x, g(x) = \ln x + 2</math>，直线L是y = f(x)与y = g(x)的公切线。求此直线L的方程。<br />
（答案：y = ex或y = x+1。）

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
已知函数<math>f(x) = x^2</math>的图象在点<math>P (x_0, x_0^2)</math>处的切线为L，且L也与另一个函数<math>g(x) = \ln x \quad (x \neq 1)</math>的图象相切。求<math>x_0</math>的取值范围。<br />
（答案：<math>(\sqrt{2}, \sqrt{3})</math>。）

==常用结论与常见模型==
=== 切线不等式 ===
结合切线的几何意义得到的不等式叫做'''切线不等式'''。例如：
* <math>e^x \ge x + 1</math>可以理解为y = x + 1是<math>f(x) = e^x</math>过点(0, 1)且朝下方倾斜的切线方程。
** <math>x \ge \ln (x+1)</math>可以理解为y = x是<math>f(x) = \ln (x+1)</math>过点(1, 0)且朝上方倾斜的切线方程。
** <math>x - 1 \ge \ln x</math>可以理解为y = x - 1是<math>f(x) = \ln x</math>过点(1, 0)且朝上方倾斜的切线方程。

切线不等式的用途：
* 利用切线可以划分平面区域，从而建立不同函数之间的不等关系。
* 利用切线不等式可以[[高中数学/不等式与数列/利用放缩法证明不等式|放缩]]简单的指数或对数函数，方便它们与多项式函数进行取值大小的比较。
* 构造可比较不等关系的切线是[[高中数学/不等式与数列/常用不等式补充#切线法与磨光变换法|在线性约束下求证多元对称不等式的切线证法]]的基础。

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提示：切线不等式来源于函数[[高中数学/微积分初步/无穷级数简介与泰勒展开公式|泰勒展开式]]中的一阶近似项。由泰勒展开式不但可以推出切线不等式，还可以得到更高精度的局部取值估计。

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
从导数（或切线）的几何意义出发，简述下列常用不等式（或不等式链）的直观含义：
:(1) <math>e^x > ex \quad (x > 1)</math>；
:(2) <math>- \frac 1 x < \frac{x-1}{x} \le \ln x \le x - 1</math>。

=== 圆锥曲线的切点弦方程与切线方程 ===
本小节我们补充有关[[高中数学/平面解析几何/圆锥曲线的综合比较|圆锥曲线]]的切线、切点的知识，尤其是它们的方程具有的共同点。

圆锥曲线的切线方程，一般需要分类讨论，或者借助[[高中数学/微积分初步/参数方程的求导与曲率计算|对隐函数求导]]的方法。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
在平面上，过曲线外一点，引出该曲线的2条切线（假定曲线足够光滑，保证这样的2条切线存在），过这2个切点的直线方程叫做曲线的'''切点弦方程'''。
</font>
</blockquote>

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提示：这里所说的“曲线外的点”是指不在曲线上的点，或者说是指不属于曲线本身（即曲线不通过、不满足曲线方程）的点，而不是指（因而也不要理解成）在曲线所可能构成的封闭区域外侧的点。例如对椭圆而言，其内部区域的点和外部区域中的点都可以笼统地叫做曲线外的点。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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对于高中最常见的二次曲线<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>，其切点弦方程为：
: <math>A x_0 x + B \frac{x_0 y + y_0 x}{2} + C y_0 y + D \frac{x_0 + x}{2} + E \frac{y_0 + y}{2} + F = 0</math>
</blockquote>

圆、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程都是上述一般情形的特例：
* 过圆<math>x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0</math>外一点<math>P (x_0, y_0)</math>的切点弦方程为<math>x_0 x + y_0 y + D \frac{x_0 + x}{2} + E \frac{y_0 + y}{2} + F = 0</math>。
** 推论：过圆<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2</math>外一点<math>P (x_0, y_0)</math>的切点弦方程为<math>(x_0-a) (x-a) + (y_0-b) (y-b) = r^2</math>。
* 过标准椭圆<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)</math>外一点<math>P (x_0, y_0)</math>的切点弦方程为<math>\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1</math>。
* 过标准双曲线<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)</math>外一点<math>P (x_0, y_0)</math>的切点弦方程为<math>\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1</math>。
* 过标准抛物线<math>y^2 = 2px (p > 0)</math>外一点<math>P (x_0, y_0)</math>的切点弦方程为<math>y_0 y = p (x_0 + x)</math>。

其次，我们来考虑切点弦与切线的关系。因为当考察的定点P从曲线外运动到曲线上时，切点弦就退化为一个点，而2个切线重合并取代了原来切点弦应该所处的位置。所以曲线的切点弦方程和切线方程虽然本是不同的概念，但是具有完全一样的形式。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File: Crystal Project Warehause.png | Crystal Project Warehause | 50px]]
过曲线外一点P的切点弦方程和当P点运动到曲线上时在P点处的切线方程在形式上是完全相同的。
</blockquote>

换句话说，过二次曲线<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>上一定点<math>P (x_0, y_0)</math>的切线方程也是<ref name="华师二中_数学_高中下册_直线与圆锥曲线">{{cite book |title=华东师范大学第二附属中学(实验班用)·数学 |volume=高中下册 |author1=刘初喜 |author2=施洪亮 |author3=蔡东山 |editor= |others= |publisher=上海教育出版社 |location=中国上海市永福路123号 |series= |edition=2 |isbn=978-7-5444-6432-1 |section=第15章“圆锥曲线”第15.6节“直线与圆锥曲线的位置关系” |pages=131-137 |language=zh-cn |year=2015}}</ref>：
: <math>A x_0 x + B \frac{x_0 y + y_0 x}{2} + C y_0 y + D \frac{x_0 + x}{2} + E \frac{y_0 + y}{2} + F = 0</math>

=== 较复杂的公切点的存在性或计数问题 ===
如果根据相切条件列出的等式是比较麻烦的超越方程，则有关切点的存在性就需要采用[[高中数学/函数与三角/函数图象的变化规律与数形结合思想|数形结合]]思想和[[高中数学/函数与三角/二分法|零点分析]]等技巧进行更进一步的讨论。

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
已知函数<math>f(x) = e^x, g(x) = \log_a x</math>，其中a > 1。
:(1) 求函数<math>h(x) = f(x) - x \ln a</math>的单调区间；
:(2) 若曲线y = f(x)在点<math>(x_1, f(x_1))</math>处的切线与曲线y = g(x)在点<math>(x_2, f(x_2))</math>处的切线平行，证明<math>x_1 + g(x_2) = - \frac{2 \ln \ln a}{\ln a}</math>；
:(3) 证明当<math>a \ge e^{\frac 1 x}</math>时，存在直线L，使L是曲线y = f(x)的切线，也是曲线y = g(x)的切线。
（出自2018年中国大陆高考理科数学天津卷第20题（解答题最后一题）。）

=== 牛顿切线迭代法 ===
求零点近似值的三大常用方法是[[高中数学/函数与三角/二分法|二分法]]、[[高中数学/平面解析几何/直线方程知识补充#割线迭代法|割线迭代法]]和牛顿切线迭代法。

== 补充习题 ==
[[File: Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File: Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]
* 若直线L既是曲线<math>y = e^x + 1</math>的切线，也是曲线<math>y = e^{x + 2}</math>的切线，求此直线L的方程。<br />
（答案：<math>x - 2y + 3 + \ln 2 = 0</math>。）

* 给出理由判断说法是否成立：若某直线与给定的二次函数图象只有唯一的交点，则此直线一定是该二次函数图象的切线。

== 参见 ==
* [[高中数学/不等式与数列/常用不等式补充#切线法与磨光变换法|线性约束多元对称不等式的切线证法]]（选学）
* [[高中数学/平面解析几何/直线方程知识补充#割线迭代法|求解零点的割线迭代法]]（选学）

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|切线}}
{{Wikipedia|牛顿法}}

{{DEFAULTSORT: derivatives and equations of tangent lines}}
[[category:微积分]]
[[category:高中数学]]