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==2.1 数列的概念与简单表示法==
按照一定的顺序排列的一列数叫做'''数列'''（Sequence of number），数列中的每个数叫做这个数列的'''项'''，数列中的每一个数都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常叫做首项），排在第二位的数叫做数列的第二项……以此类推，'''排在第n位的数叫做这个数列的第n项。'''所以，数列的一般形式可以写成

<math>a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n, \cdots</math>

[[File:数列对应关系.png|左|缩略图|图2-1-1]]
简记为<math>\left\{a_n\right\}</math>。其中，项目有限的数列叫做'''有穷数列'''，而项目无穷的数列则称之为'''无穷数列'''。

数列可以看成正整数集N*（或其有限子集）为定义域的函数<math>a_n=f(n)</math>，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对的一列函数值，如图2-1-1所示。反过来，对于函数<math>y=f(x)</math>，如果<math>f(i)</math>(<math>i=1, 2, 3, \cdots </math>)有意义，那么我们可以得到一个数列:

<math>f(1), f(2), f(3), \cdots , f(n)\cdots</math>

如果数列<math>\left\{a_n\right\}</math>的第n项与序号n之间的关系可以通过一个算式来表示，那么这个公式叫做这个数列的'''通项公式'''。我们可以通过这个公式计算出数列的各个项。

== '''2.2 等差数列''' ==
'''一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.'''

'''由三个数a,A,b组成的等差数列可以看作最简单的等差数列，此时，A叫做a和b的等差中项(arithmetic mean)。'''

一般的,如果等差数列<math>\left\{a_n\right\}</math>的首项是<math>a_1</math>，公差是<math>d</math>，根据等差数列的定义，可以得到

<math>a_2 -a_1 =d, a_3 -a_2 =d, a_4 -a_3 =d, \cdots</math>

所以

<math>a_2 =a_1 +d,</math>

<math>a_3 =a_2 +d=\left(a_1 +d\right)+d=a_1 +2d,</math>

<math>a_4 =a_3+d=\left(a_1 +2d\right) +d=a_1 +3d</math>

…………

由此可得等差数列的通项公式

<math>a_n =a_1 +\left(n-1\right)d</math>

== '''2.3 等差数列的前n项和''' ==
首先,引入一个小故事.

200多年前,高斯的数学老师提出了下面的问题：<math>1+2+3+\cdots +=100=?</math>

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法算出了正确答案：

<math>\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\cdots +\left(50+51\right)=101\times 50=5050</math>

一般的,我们称<math>a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n</math>为数列<math>\left\{a_n\right\}</math>的前n项和，即<math>S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n</math>。

由高斯算法的启示，对于公差为<math>d</math>的等差数列，我们用两种方法表示Sn:

<math>S_n=a_1+\left(a_1+d\right)+\left(a_1+2d\right)+\cdots + \left[a_1+\left(n-1\right)d\right]</math> ......①

<math>S_n=a_n+\left(a_n-d\right)+\left(a_n-2d\right)+\cdots + \left[a_n-\left(n-1\right)d\right]</math>......②

由①+②得到：<math>2S_n=\left(a_1+a_n\right)+\left(a_1+a_n\right)+\cdots +\left(a_1+a_n\right)</math>一共有n个

由此得到等差数列的前n项和的公式

<math>S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}</math>

如果代入等差数列的通项公式<math>a_n=a_1+\left(n-1\right)d</math>，<math>S_n</math>也可以用首项<math>a_1</math>和公差<math>d</math>表示，即：

<math>S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math>

== '''2.4 等比数列''' ==
再引入一个实例：

1.细胞分裂的个数可以组成下面的数列：<math>1, 2, 4, 8, \cdots </math>

2.一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒成为第二轮，以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：<math>1, 20, 20^2, 20^3, \cdots</math>。

可以看到，这些数列都有一个特点：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一常数。

'''一般的如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么称这个数列为等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母<math>q</math>表示（<math>q\ne 0</math>）。'''

'''与等差数列的概念类似，如果在a，b中间插入一个数G，那么G叫做a和b的等比中项。'''

下面我们来研究等比数列的通项公式。

通过上面两个实例，类比等差数列的推导过程，可以得到等比数列的通项公式：

<math>a_n=a_1q^{n-1}</math>

== '''2.5 等比数列的前n项和''' ==
国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放一粒麦粒，第二个格子里放上两颗麦粒，第三个格子里放上四颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的二倍，直到第64个格子，请满足我的要求。”国王认为这个要求不高，就同意了。如果1000粒麦子的质量是40g，根据调查，目前世界小麦年产量为6亿吨。根据以上数据判断国王能否实现它的诺言。

我们分析一下，如果把各个格所放的麦粒看做一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。

一般的，对于等比数列<math>a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n, \cdots</math>，它的前n项的和是

<math>S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n</math>

根据等比数列的通项公式，上面的式子可以写成

<math>S_n=a_1+a_1q+a_1q^n-1+a_1q^n</math>…………①

我们发现，如果用公比q乘①的两边，可以得到：

<math>qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots +a_1q^{n-1}+a_1q_n</math>…………②

①、②的右边有很多相同的项，用①分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得<math>\left(1-q\right)S_n=a_1-a_1q^n</math>

当<math>q\ne 1</math>时，等比数列前n项和的公式为

<math>S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)</math>

因为<math>a_n=a_1q^{n-1}</math>，所以上面的公式还可以写成

<math>S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}</math>

有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题。由<math>a_1=1, q-2, n=64</math>,可得

<math>S_{64}=\frac{1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}=2^{64}-1</math>

这个数很大，超过了1.84×10<sup>19</sup>，估计一千粒麦子的质量约为40克，那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨，因此，国王根本不能实现它的诺言。

== 练习题 ==
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