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== 阅读指南 ==
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=== 预备知识 ===
=== 考试要求 ===
=== 后续课程联系 ===
概率论应用极广。除了[[w:统计学|统计学]]以及从概率论自身发展出来的[[w:随机过程|随机过程]]、[[w:贝叶斯推断|贝叶斯推断]]、[[w:决策论|决策论]]等分支学科以外，[[w:模糊数学|模糊数学]]、[[w:密码学|密码学]]、[[w:机器学习|机器学习]]、[[w:量子力学|量子力学]]、[[w:金融数学|金融数学]]、[[w:电子游戏|电子游戏]][[w:游戏设计|策划]]等课题也都是完全离不开概率论的。

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玩笑：概率论与[[w:赌博|赌博]]的关系也很密切，虽然还没有形成赌博学这个独立学科。虽然很多概率论普及文章会论述就赌必输、回头是岸的道理，但是谁知道数学家们研究概率论时心里面不是为了更好地赢一把呢？

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玩笑：每一个看多了科幻片的沙发土豆即使没学过概率论，也一定都听说过“遇事不决，量子力学”的说法吧。很多没有才能的科幻片导演，编出了一些胡编乱造的技术名词，难以通过已知的物理法则解释，就说将其归结为新的量子原理敷衍观众。

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
生活中许多事情是否发生是难以预料的。习惯上，我们倾向于用一个0到1之间的数字描述一件事发生的可能性大小，数字越小代表越不可能发生，越大代表越有可能发生。这种简单的想法引申出了对可能性大小的定义。

讲到随机性，最俗套的例子就是抛2个面的硬币和抛6个面的骰子。经验告诉我们，较为均匀的硬币和骰子，胡乱扔出去并落地以后，以任何一面朝上的可能性都存在，而且看起来应该是均等可能地出现。硬幣的正面在英文中叫做大头（head），反面叫做尾巴（tail），所以[[w:擲硬幣|擲硬幣]]游戏也叫做大头还是尾巴（heads or tails）。数学中经常会用H和T这2缩写字母代表单次擲硬幣的结果<ref>{{cite book |title=概率论及其应用 |volume=1 |author=[[w:William Feller|William Feller]] |editor=王丽萍 |others=胡迪鹤 (汉译者) |series=图灵数学·统计学丛书 |publisher=人民邮电出版社 |location=北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 (原书第3版) |isbn=978-7-115-14729-5 |section=第1章“样本空间”第1.2节“例子” |pages=10 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>。

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玩笑：你们在考试遇到不知道答案应该选什么的选择题时，也是会需要一个硬币或骰子这种道具的（不要迷信“乱选一个C就好”的说法，这是对自己的不负责任，有的人连英语判断题都习惯性在答题卡上填C），或者恨不得突然拥有一个。如果你碰到了喜欢一边摇骰子，一边决定选项顺序的，那么正好棋逢对手。这在概率论中的确是有意义的问题。另外，不要把擲硬幣游戏和[[w:海飞丝|海飞丝]]（Head and Shoulders）洗发水混为一谈。从电影《[[w:进化危机|进化危机]]》（''Evolution''）中我们可以得知海飞丝可以消灭许多外星怪兽，硬幣则没有这么多花哨的功能（除了还可以许愿）。

=== 事件的分类和概率的概念 ===

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
在指定条件下<ref name="人教社大纲版数学_2004_事件与概率的概念">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第2册 (下B) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17987-X |section=第11章“概率”第11.1节“随机事件的概率” |pages=124-126 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>：
* 可能会发生，也可能不会发生的事件叫做'''随机事件'''（'''random event'''）；
* 一定会发生的事件叫做'''必然事件'''（'''certain event'''）；
* 一定不会发生的叫做'''不可能事件'''（'''impossible event'''）。

粗略地讲，如果能用一个（在[0, 1]之间的）数字明确地衡量一个事件发生的可能性大小，那么这样的数字就叫做该事件的'''概率'''（'''probability'''）或'''几率'''。<ref name="李贤平_2010_频率与概率">{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.1节“随机现象与统计规律性”中的“频率稳定性”部分和“频率与概率”部分 |pages=3-7 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>

必然事件发生的概率为1，不可能事件的发生概率为0。
</font>
</blockquote>

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提示：概率是事件本身的固有特性，数学上只考虑范围描述明确、可以用概率值描述的事件。

由以上规定可知任意事件A的概率P(A)一定满足：<math>0 \le P(A) \le 1</math>。

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注意：虽然必然事件发生的概率为1，不可能事件的发生概率为0，但是反过来未必如此。仔细推敲可以发现，我们没有规定概率为1的事件就是必然事件，也没有规定概率为0的事件就是不可能事件。在本节即将介绍的几何概率模型中就会见到这样的例子。

一般来说，对于一个复杂、一般性的问题，我们会将事件细分为更小、可能更明确的'''基本事件'''（'''elementary event'''）<ref name="人教社课标版数学_2004_基本事件与古典概型" />。基本事件是概率论中无法严格定义的基本概念之一<ref name="Feller_2006_经验背景">{{cite book |title=概率论及其应用 |volume=1 |author=[[w:William Feller|William Feller]] |editor=王丽萍 |others=胡迪鹤 (汉译者) |series=图灵数学·统计学丛书 |publisher=人民邮电出版社 |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 (原书第3版) |isbn=978-7-115-14729-5 |section=第1章“样本空间”第1.1节“经验背景” |pages=6-7 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>。如果一个事件不可以继续被划分为颗粒度（或者说包含范围）更小的子事件，那么这样的事件就可以被当作基本事件。

事件像集合一样，也可以规定包含关系。如果事件A发生则B一定发生，就说事件B包含事件A（记作<math>B \supset A</math>），或者事件A包含于事件B（记作<math>A \subset B</math>）。类似地，还可以定义2个事件A和B的并（即其中任一事件发生，记为<math>A \cup B</math>）与事件A和B的交（即其中所有事件都发生，记为<math>A \cap B</math>或AB），并可以用[[高中数学/集合与简易逻辑/集合的概念和运算|文氏图]]表示出来。<ref name="人教社课标版数学_2004_概率基本性质">{{cite book |title=高中数学 (A版) 必修3 |author=张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17707-9 |section=第3章“概率”第3.1节“随机事件的概率”第3.1.3小节“概率的基本性质” |pages=112-114 |language=zh-cn |year=2004}}</ref><ref>{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第1章“事件与概率”第1.1节“概率论的现实背景”中“（二）事件的运算”部分 |pages=2-4 |language=zh-cn |year=2007}}</ref><ref>{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.2节“样本空间与事件”中“三、事件的运算”部分 |pages=12-16 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>

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知识背景：从集合观点谈论概率是很有启发性的。尤其是大学课本对概率的严格定义就是基于事件集合的。事件集合也被称为样本空间，单个事件被称为其中的样本点<ref name="Feller_2006_经验背景" />。而一个具体的事件集合连同此集合上合理规定的事件运算、概率这三者一同被合称为概率空间<ref name="王梓坤_2007_概率空间" /><ref>{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.5节“概率空间”中“五、概率空间”部分 |pages=53-55 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>。当然只有事件集合明确的问题才有讨论事件概率的前提。在大学的概率论课程中将会看到，这种抽象使概率脱离了具体的问题背景，但是又保留了概率的运算本质，从而也减少了语境束缚，使得更一般性、更纯粹化的概率理论研究成为可能。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
已知A和B是任意的2个事件，利用[[高中数学/集合与简易逻辑/集合及其运算|集合的容斥原理]]求证关系式：<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>。<ref name="Feller_2006_概率的基本定义和性质">{{cite book |title=概率论及其应用 |volume=1 |author=[[w:William Feller|William Feller]] |editor=王丽萍 |others=胡迪鹤 (汉译者) |series=图灵数学·统计学丛书 |publisher=人民邮电出版社 |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 (原书第3版) |isbn=978-7-115-14729-5 |section=第1章“样本空间”第1.7节“基本定义和规则” |pages=17-19 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
求证对于任意2个事件A、B成立的邦费罗尼（Bonferroni）不等式：<math>P(AB) \ge P(A) + P(B) - 1</math>。<ref>{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.5节“概率空间”中“三、概率”部分 |pages=47-51 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>

=== 频数和频率 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
多次重复进行同一试验时，事件A发生的次数叫做'''频数'''（'''frequency'''），频数占总试验次数的比例叫做'''频率'''（'''relative frequency'''）<ref>{{cite book |title=高中数学 (A版) 必修3 |author=张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17707-9 |section=第3章“概率”第3.1节“随机事件的概率”第3.1.1小节“随机事件的概率” |pages=102 |language=zh-cn |year=2004}}</ref><ref name="王梓坤_2007_频率">{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第1章“事件与概率”第1.1节“概率论的现实背景”中“（四）频率”部分 |pages=8-9 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>。

将事件的相关条件准备好，检测单次事件的发生情况叫做进行一次'''试验'''（'''trail'''）<ref name="人教社大纲版数学_2004_事件与概率的概念" />。
</font>
</blockquote>

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提示：有的高中教科书默认频率当试验次数增大时会趋近于概率，并将这个趋近值直接定义为概率<ref>{{cite book |title=高中数学 (A版) 必修3 |author=张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17707-9 |section=第3章“概率”第3.1节“随机事件的概率”第3.1.3小节“概率的基本性质” |pages=104-105 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>。这种先入为主地对基于频率定义概率的做法并不符合目前占主流的频率学派（frequentist school）的观点。

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提示：从文字本义来说，试验（trial）是尝试性的过程，和验证性的实验（experiment）是不同的概念。

显而易见，频率的数值稳定性是估算概率的前提<ref name="王梓坤_2007_频率" />。它启发我们当频率的取值总是接近一个唯一的数值时，就将其取为概率<ref name="李贤平_2010_频率与概率" />。使用频率代替概率是有条件的，只有当试验次数足够多时，频率才有可能接近概率，当然这个想法也需要严格证明<ref name="王梓坤_2007_大数定理">{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第3章“独立随机变数序列的极限定理”第3.3节“大数定理与强大数定理”中“（一）问题的一般提法”部分和“（二）大数定理”部分 |pages=187-190 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>。如果是遇到不太稳定的频率，单凭一个近似化的想法也是无法很好地估计概率的。这个可以证明的结论被叫做[[w:大数定理|大数定理]]。由于目前的知识铺垫还不充分，我们会等到在[[高中数学/概率与统计/大数定律与蒙特卡罗方法|大数定律与蒙特卡罗方法]]一节中再作正式介绍。

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提示：生产和生活中事件频率的稳定性是一种经验之谈<ref name="李贤平_2010_频率与概率" />。如无特殊说明，不应该假定物理世界中所有事件的频率一定具有稳定性，也不能说频率不稳定的事件不能算作随机事件。出于许多方便性和实用性的考虑，数学上只是不去考虑不能用一个确定概率描述的随机性事件。

频率有时也用于在难于某些复杂事件难以直接求解出概率或其概率的表达式中存在未知量时，近似地计算出概率<ref name="王梓坤_2007_频率" />。我们从本节开始就会逐渐讲到，有很多经典的[[高中数学/概率与统计/大数定律与蒙特卡罗方法|蒙特卡罗方法]]就是从这个思路去想的。不过先提一句，利用频率估计概率利用了数形结合思想，做法简单直接，但也是效率很低的做法<ref name="李贤平_2010_几何概型" />，是不得已时（比如用于计算概率的理论公式还没找到或者形式非常复杂）才会考虑的办法。

=== 古典概率模型 ===
[[File:Pierre-Simon_Laplace.jpg |thumb |150px | 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace，1749年－1827年）是法国的大数学家，他以在数学和天体力学的成就闻名。他也是[[w:决定论|机械式宇宙决定论]]或称为物理决定论（physical determinism）的宣扬者，即笃信凭借足够准确的数学方程和初始条件即可以推算出宇宙的一切过去和未来。为阐明自己的宇宙决定论，他还提出了[[w:拉普拉斯妖|拉普拉斯妖怪]]的概念。]]

法国数学家[[w:皮埃尔-西蒙·拉普拉斯|皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]曾在1812年<ref name="李贤平_2010_古典概型的概念" />给出了现在被称为古典概率模型的早期概率定义：
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
满足下列条件的概率问题称为'''古典概率模型'''（'''classical model of probability'''）或简称为'''古典概型'''<ref name="人教社课标版数学_2004_基本事件与古典概型">{{cite book |title=高中数学 (A版) 必修3 |author=张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17707-9 |section=第3章“概率”第3.2节“古典概型”第3.2.1小节“古典概型” |pages=118-123 |language=zh-cn |year=2004}}</ref><ref name="王梓坤_2007_古典与几何概型的定义与举例">{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第1章“事件与概率”第1.1节“概率论的现实背景”中“（三）概率”部分 |pages=4-8 |language=zh-cn |year=2007}}</ref><ref name="李贤平_2010_古典概型的概念">{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.3节“古典概型”中“一、模型与计算公式”部分 |pages=17-20 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>：
* 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
* 每个基本事件出现的可能性相等。
</font>
</blockquote>

在古典概率模型中，所有的可能情况为离散、有限多个的。反过来，所有情形离散、总数量有限的问题都可以视作古典概率模型问题处理。

关于古典概率模型的事件概率计算，有如下容易理解的规定：
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
如果一次试验中最多可能涉及n个基本事件，而且假设所有这n个基本事件的出现可能性都相等，那么其中每一个基本事件的发生概率都是<math>\frac 1 n</math>。此时如果某个事件A包含了m个基本事件，那么事件A的概率就是<math>P(A) = \frac m n</math>。<ref name="人教社大纲版数学_2004_事件与概率的概念" /><ref name="王梓坤_2007_古典与几何概型的定义与举例" />
</font>
</blockquote>

易知在古典概率模型中，有关系式<math>0 \le P(A) \le 1</math>恒成立。<ref name="人教社大纲版数学_2004_事件与概率的概念" />

从集合的观点看，如果把所有基本事件组成一个集合S，包含m个基本事件的事件A就对应于S的含有m个元素的子集A（为了方便把事件A对应的集合也记作A）<ref name="人教社大纲版数学_2004_事件与概率的概念" />。如果这些基本事件都可以假设是等可能性的，那么事件A的概率就是这2集合元素数目的比值<ref name="人教社大纲版数学_2004_事件与概率的概念" />：<br />
<math>P(A) = \frac{card(A)}{card(S)} = \frac m n</math>

常见的古典概型问题大体有3类：抽球问题、分房间问题、随机取数问题。<ref name="王梓坤_2007_古典概型的分类">{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第1章“事件与概率”第1.2节“古典型概率”中“（三）古典型随机试验中的概率计算”部分 |pages=12-13 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>

=== 几何概率模型 ===
人们在几何学研究中还发现另一种常见的等概率模型，但是因为涉及无穷个基本事件，所以无法直接被算作古典概率模型<ref name="李贤平_2010_古典概型的概念" />。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量（例如长度、面积或体积）成比例，这样的概率模型称为'''几何概率模型'''（'''geometric model of probability'''）或简称为'''几何概型'''<ref name="人教社课标版数学_2004_几何概型">{{cite book |title=高中数学 (A版) 必修3 |author=张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17707-9 |section=第3章“概率”第3.3节“几何概型” |pages=129-134 |language=zh-cn |year=2004}}</ref><ref name="李贤平_2010_几何概型">{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.4节“几何概型” |pages=35-42 |language=zh-cn |year=2010}}</ref><ref name="王梓坤_2007_古典与几何概型的定义与举例" />。

在几何概率模型中，事件A的概率计算方法如下<ref name="人教社课标版数学_2004_几何概型" />：
:P(A) := 构成事件A的区域的度量值<math>\div</math>试验涉及的全部结构所构成的总的度量值
</font>
</blockquote>

在几何概率模型中，所有的可能情况为连续、无限多个的。反过来，所有情形连续、总数量无限的问题都可以视作几何概率模型问题处理。

<!-- 本小节例题 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题：
针对下列说法，试着分别举出一个例子：
:(1) 概率为0的事件不一定是不可能事件。
:(2) 概率为1的事件不一定是必然事件。

[[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]]
注意：叙述不清晰的几何概率问题很可能容易引发歧义。我们会在[[高中数学/概率与统计/伯特兰悖论与公理化概率论简介|伯特兰悖论与公理化概率论简介]]一节中介绍[[w:伯特兰悖论|伯特兰悖论]]这个著名的例子。

[[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]]
注意：实际上不是所有点集的长度、面积、体积的概念都是有意义的。在现代概率论中，我们使用[[w:测度|测度]]的概念为长度、面积和体积下严格定义，并会试图证明有测度不存在的点集。这暗示不是所有的点集问题都是有意义的概率问题。<ref name="王梓坤_2007_概率空间">{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第1章“事件与概率”第1.3节“概率空间”中“（一）概率的公理化定义”部分 |pages=19-21 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]
* 举出一个既不是纯粹古典概率模型，也不是纯粹几何概率模型的概率问题。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|随机性}}
{{Wikipedia|随机事件}}
{{Wikipedia|概率}}
{{Wikipedia|擲硬幣}}

{{DEFAULTSORT: random events and probability models}}
[[category:概率论]]
[[category:高中数学]]