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== 集合 ==

; 基本概念
: 把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合（英语：set），集合常用大写字母表示；集合里的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母表示。

; 集合元素的性质：
:# 确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
:# 互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
:# 无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。


=== 相互关系 ===

; 元素与集合的关系：
: 元素与集合的关系有“属于”（<math>\in</math>）和“不属于”（<math>\not\in</math>）两种。

; 集合与集合之间的关系：
: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
:* 含有有限个元素叫有限集；
:* 含有无限个元素叫无限集；
:* 不含任何元素的集叫“空集”，记做“<math>\varnothing</math>”，
:*: 空集是任何集合的子集，
:*: 空集是任何非空集的真子集；
:* 任何集合是它本身的子集
:* 子集，真子集都具有传递性。

=== 集合的表示 ===

; 集合的表示方法
: 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：<math>A=\{\ldots\}</math>的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种 共同性质的数学元素。
: 有多种方法表示集合，其中常用的有列举法和描述法：
:# 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
:# 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。<math>\{x|P\}</math>（<math>x</math>为该集合的元素的一般形式，<math>P</math>为这个集合的元素的共同属性）如：小于<math>\pi</math>的正实数组成的集合表示为：<math>\{x|0<x<\pi\}</math>
:# 图式法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
:# 自然语言

; 特殊集合的表示
:# 全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作<math>\mathbb{N}</math>
:# 非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作<math>\mathbb{N}_\mathbb{+}</math>或<math>\mathbb{N}^\mathbb{*}</math>
:# 全体整数的集合通常称作整数集，记作<math>\mathbb{Z}</math>
:# 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作<math>\mathbb{Q}</math>
:#: <math>\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p\in Z, q\in N, \text{且 }\, p,q \, \text{互 質 }\}</math>
:# 全体实数的集合通常简称实数集，记作<math>\mathbb{R}</math>
:# 复数集合记作<math>\mathbb{C}</math>

=== 运算与法则 ===

; 集合的三种运算法则:
:* 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作<math>A\cup B</math>（或<math>B\cup A</math>），读作“A并B”（或“B并A”），即<math>A\cup B=\{x|x\in A, \text{或 }\, x\in B\}</math>
:* 交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作<math>A\cap B</math>（或<math>B\cap A</math>），读作“A交B”（或“B交A”），即<math>A\cap B=\{x|x\in A, \text{且 }\, x\in B\}</math>
:* 补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作<math>C_U A</math>，即<math>C_U A=\{x|x\in U, \text{且 }\, x\text{不 属 于 }\,A\}</math>

:*: 在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如<math>A=\{a,b,c\}</math>，则card(A)=3
:*:* card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
:*:* card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
:* 集合吸收律：
:*: <math>A\cup (A\cap B)=A</math>
:*: <math>A\cap (A\cup B)=A</math>
:* 集合求补律：
:*: <math>A\cup C_U A=U</math>
:*: <math>A\cap C_U A=\varnothing</math>
:* 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集
:*: 德摩根律 <math>A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)</math>
:*: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math>
:*: <math>C_U(B\cup C)=C_U B\cap C_U C</math>
:*: <math>C_U(B\cap C)=C_U B \cup C_U C</math>
:*: <math>\sim \varnothing =E \sim E=\varnothing</math>


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