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== 指数与指数幂的运算 ==
根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。

=== 有理指数及其运算 ===
 '''定义：若'''<math>x^n=a</math>'''，其中'''<math>a\in R</math>'''，'''<math>n</math>'''是正整数，则称'''<math>x</math>'''是'''<math>a</math>'''的<math>n</math>次方根。容易看出，若<math>n</math>为奇数，则<math>a</math>存在唯一的<math>n</math>次方根，我们记做<math>\sqrt[n]{a}</math>。而若<math>n</math>为偶数，当<math>a</math>为负数时无<math>n</math>次方根，'''<math>a=0</math>'''是有唯一<math>n</math>次方根0,<math>a>0</math>'''时有两个互为相反数的<math>n</math>次方根，记正的<math>n</math>次方根为<math>\sqrt[n]{a}</math>，负的<math>n</math>次方根为<math>-\sqrt[n]{a}</math>  。'''
有了n次方根的定义，我们就可以定义有理数次幂的概念。
 <big><u>'''''定义1：设'''<math>m,n</math>'''为互素的正整数，<math>a</math>为正数，定义<math>a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}</math>。'''''</u></big>

 '''<big>''<u>定义2：设</u>''</big>'''<math>r</math>'''<big>''<u>是负有理数，<math>a</math>是正数，则定义<math>a^r=\frac{1}{a^{-r}}</math>。</u>''</big>'''
'''这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则：'''

# '''<math>a^r a^s=a^{r+s}</math>'''
# '''<math>(a^r)^s=a^{rs}</math>'''
# '''<math>(ab)^r=a^r b^r</math>(其中'''<math>a,b</math>'''为正数，'''<math>r,s</math>'''为有理数)'''

如此，我们就把指数的概念推广到了有理数，我们接下来将这一概念推广到全体实数。

=== 无理指数及其运算 ===
无理数指数幂的运算与有理数相同，可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。

== 指数函数 ==

=== 什么是指数函数？ ===
一般的，形如<math>y=a^x</math>(<math>a>0</math>且<math>a\neq 1</math>)的函数称作指数函数。

=== 图像 ===
[[File:指数函数y=3^x的图像.png|缩略图|331x331px|图1：指数函数y=3<sup>x</sup>的图像（用几何画板5.06绘制）]]指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线，x轴是它的渐近线，如图1.

=== 性质 ===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |相关属性
!<math>a>1</math>
!<math>0<a<1</math>
|-
! colspan="2" |图像
![[File:Y=2^x函数图象.png|居中|缩略图|<math>Y=2^x</math>函数图象（用几何画板5.06绘制）]]
![[File:Y=(1-2)^x的图像.png|缩略图|246x246像素|<math>Y=\left ( \frac{1}{2} \right )^x</math>的图像]]
|-
! rowspan="3" |相同点
!经过的定点
! colspan="2" |（0,1）
|-
!奇偶性
! colspan="2" |非奇非偶
|-
!定义域和值域
! colspan="2" |定义域<math>A\in R</math>；值域<math>C\in \left ( 0,+\infty \right )</math>
|-
! rowspan="3" |不同点
!单调性
!单调递增
!单调递减
|-
!对应值
!当<math>x>0</math>时，<math>y>1</math>；<math>x<0</math>时，<math>y<1</math>
!当<math>x>0</math>时，<math>y<1</math>；<math>x<0</math>时，<math>y>1</math>
|-
!与x、y轴的关系
!<math>a</math>越大，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴
!<math>a</math>越小，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴
|}



==对数及其运算==

=== 什么是对数？ ===
 ''<big><u>一般的，若<math>a^x>N</math>（<math>a>0</math>且<math>a\neq 1</math>），那么<math>x</math>就可以称作以<math>a</math>为底N的对数，记作<math>x=\log_{a}N</math></u></big>''
根据定义可以看出，指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提，关于对数的问题可以用指数作为桥梁。

==== '''特殊对数：''' ====
以10为底的对数称作常用对数，记作<math>\lg x</math>

以无理数<math>e=2.71828...</math>为底的对数称作自然对数，记作<math>\ln x</math>

==== '''根据对数的定义可以得到对数的性质：''' ====
* 负数和0没有对数，即<math>\log_{a}N</math>中，<math>N>0</math>
* 1的对数是0
* 底数的对数为1
* 对数恒等式：<math>a^{\log_{a}N}=N</math>   <math>\log_{a}a^x=x</math>

==== 对数的运算性质： ====
* <math>\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N</math>
* <math>\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N</math>
* <math>\log_{a}M^n=n\log_{a}M</math>

*<math>\log_{a^r}N^s=\left ( \frac{s}{r} \right )\log_{a}N</math>

对数函数是，那么可以将<math>x</math>称作以<math>a</math>为底N的对数，记作<math>x=\log_{a}N</math>指数函数的反函数。也就是<math>x = y^a</math>。

可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢，就用新符号<math>\log</math>表达，也就是

<math>a^y = x \equiv y = \log_{a} x</math>（<math>\equiv</math>表示两函数等价）

对数函数在历史上备受重视，可是现在用处很少，基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是<math>e</math>（上文提到过的），数学家为了符号简略，把<math>\log_{e} x</math>简写为<math>\ln x</math>