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== 集合的概念  ==
　　在小学和初中的学习中，我们已经接触过一些集合，比如，自然数的集合、有理数的集合、实数的集合、不等式<math>x-1<0</math>的解集，等等。 　　
 <u>''<big>一般地，我们把研究对象统称为'''元素（element）。'''</big>''</u> 　　

 ''<u><big>定义1　一些确定并且各不相同的元素的整体就是'''集合（set）'''。</big></u>''
例如，以所有的自然数<math>0,1,2,...</math>作为元素，它们构成的整体就是自然数的集合（简称自然数集）；以所有实数作为元素，它们构成的整体就是实数的集合（简称实数集）。

'''从定义还可以看出，能构成集合的元素必须同时满足以下两个条件：'''

'''（1）所有元素必须都是确定的。如以很大的自然数为元素，则不能构成集合，因为这些元素不是确定的；如以大于10的自然数为元素，则可以构成集合。'''

'''（2）所有元素各不相同。'''

集合与元素的表示方法：数学中通常用大写字母<math>A,B,C,...</math>表示集合，小写字母<math>a,b,c,...</math>表示元素。''' 　　'''
 ''<u><big>定义2： 如果a是集合A中的元素，则a属于A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，则b不属于A，记作b∉A。</big></u>''
　　例如，用<math>N</math>表示自然数集，则有<math>0\in N, 1\in N,...</math>总之，对于一切整数<math>n\geqslant 0</math>，都有<math>n\in N</math>。另一方面，对于整数<math>m<0</math>，都有<math>m\notin N</math>。 
 ''<u><big>定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同，则集合A与集合B相等，记作<math>A=B</math>。</big></u>''
对于集合的表示方法，除了像“所有自然数构成自然数集”这样的自然语言以外，数学上常用以下两种方法表示集合： 　　

'''（1）列举法。'''

将集合中的所有元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法。当元素数量可数并较少时可以采用这个方法。用列举法表示集合，先将元素一一列出，以逗号“，”分隔开，再用花括号“{}”括起来。

例如方程<math>\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0</math>的实数根组成的集合可以表示为<math>\left\{1, 2\right\}</math>。用大写字母<math>A</math>表示这个集合，则有<math>A=\left\{1, 2\right\}</math>。 　　

'''（2）描述法。'''

用集合中的所有元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。当元素数量不可数或较大时采用。用描述法表示集合时，在花括号内先写出表示这个集合的元素的符号以及一般取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这些元素的共同特征。

例如不等式<math>X-1<0</math>的在实数范围内的解集为<math>\{x</math>为实数<math>|x<1\}</math>，所有奇数组成的集合为<math>\{n</math>为整数<math>|n=2k+1,k</math>为整数<math>\}</math>。 　　

以下列举一些数学中常用的集合及其符号：

* <math>N</math>'''为所有自然数组成的集合，'''<math>N=\{n</math>'''为整数'''<math>|n\geq 0\}</math>'''；'''

* <math>N+</math>'''为所有正整数组成的集合，'''<math>N+=\{n</math>'''为整数'''<math>|n\geq 1\}</math>'''；'''
* <math>Z</math>'''为所有整数组成的集合；'''
* <math>Q</math>'''为所有有理数组成的集合，'''<math>Q=\{p/q|p,q</math>'''都为整数，且'''<math>p,q</math>'''互质'''<math>\}</math>'''；'''
* <math>R</math>'''为所有实数组成的集合。'''

'''有了这些符号，诸如'''<math>n</math>'''为整数”、“'''<math>x</math>'''为实数”都可以记作“<math>n\in N</math>”，“<math>x\in R</math>”了，例如'''<math>\{x</math>'''为实数<math>|x<1=\left\{x\in R|x<1\right\}</math>，'''<math>\{n</math>'''为整数'''<math>|n=2k+1,k</math>'''为整数<math>\}=\left\{n\in Z|n=2k+1, k\in Z\right\}</math>。'''

'''还需要指出，如果从上下文的关系看，<math>x\in R</math>、<math>n\in Z</math>是明确的，那么<math>x\in R</math>、<math>n\in Z</math>可以省略写为'''<math>x</math>'''、'''<math>n</math>'''，例如<math>\left\{x\in R|x<1\right\}=\left\{x|x<1\right\}</math>，<math>\left\{n\in Z|n=2k+1, k\in Z\right\}=\left\{n|n=2k+1, k\in Z \right\}</math>。'''

== 习题3－1－1 ==
'''1、以下哪些语句描述的是正确的集合？'''

（1）接近0的数组成的集合；

（2）大于<math>M</math>的实数组成的集合； 　 

（3）<math>\left \{ 1,1,2,2,3,3 \right \}</math>。

'''2、以下哪组集合是相等的？'''

（1）<math>\left \{ 1,2,3,...,n \right \}</math>与<math>N</math>； 　

（2）<math>\{x|x\in N+</math>且<math>x<31\}</math>与六月份所有日期对应的号码组成的集合； 　 

（3）<math>\left \{ y|y=2x+1 \right \}</math>与<math>\left \{ y|y=2x+1, x\in Z \right \}</math> 

'''3、设集合'''<math>A</math>'''表示不等式'''<math>x^2-1<0</math>'''在整数范围内的解集'''

（1）求集合<math>A</math>并说明集合<math>A</math>能否分别用列举法和描述法表示； 　

（2）写出两个属于集合<math>A</math>的数，再写出两个不属于集合<math>A</math>的数。