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===问什么要有导数和积分？===
数学已经很完备了，可是为什么还要有导数和积分呢？大家可以来看下面的内容。 

==== '''速度、切线''' ====
===== 速度 =====
在物理中，我们知道：当一个物体做直线运动时，物体在直线上的位置'''完全'''由某个函数<math>s=f(t)</math>确定。

先考虑最简单的情况，物体做匀速直线运动。此时，<math>s=vt</math>，即<math>v=\frac{s}{t}</math>。并且对于不同的<math>t</math>，<math>v</math>的值都是一样的。'''<math>v</math>可以表示任意时刻的瞬时速度'''。

那么对于非匀速运动的物体呢？怎么理解在<math>s=f(t)</math>情况下<math>t_0</math>时刻的瞬时速度呢？

首先我们取时间从<math>t_0</math>到<math>t_1</math>这样一个时间段。那么物体在这一时间段内，有平均速度

:<math> v=\frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}} </math>

如果我们将<math>t_1</math>取得非常靠近<math>t_0</math>（比如<math>t_1-t_0=10^{-100}s</math>）,那么我们可以认为物体在如此短的一个时间内做匀速运动。更为精确的说，令<math>t_1\rightarrow t_0</math>（“→”是趋向的意思。表示左边的量非常非常接近右边的量，几乎等于）,那么<math>t_0</math>时刻的瞬时速度就是

:<math> v=\lim_{t_{1} \to t_{0}} \frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}} </math>

其中，<math>\lim_{t_{1} \to t_{0}} </math>叫做极限符号，表示的是当<math>t_1\rightarrow t_0</math>的时候。


===== 切线 =====
圆（椭圆亦可）的切线可以定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但对于其他函数，如<math>y=\cos x</math>，显然在<math>x=0</math>时的切线为直线<math>y=1</math>，而它与函数有无数个交点。

通过<math>y=\cos x</math>和上文速度的例子，我们或许可以吸收一些经验。是不是在一个比较小的范围（一个区间包含切点）内使得这条直线与曲线只有一个交点才是切线呢？（此处存在错误。例如函数<math>f(x)=x^2\left ( \sin \left ( \frac{1}{x^2} \right )+1 \right )</math>在<math>x=0</math>处的切线为<math>y=0</math>，而显然在任意包含<math>x=0</math>的开区间上，<math>y=f(x)</math>与<math>y=0</math>均有无穷多个交点。望编写者修正。）

我们仍旧通过简单的例子来验证。首先圆和椭圆都是满足的。图1也是符合这个定义的。图2也是满足的（注意这一点的切线是存在的）。

[[File:屏幕快照 2013-06-10 下午5.52.07.png|缩略图|图1]]

因此，我们给出如下定义：设有曲线<math>C</math>和<math>C</math>上两点<math>M,N</math>。做割线<math>MN</math>。当点<math>N</math>随着曲线<math>C</math>趋向于点<math>M</math>时，若割线<math>MN</math>趋向一个位置<math>MT</math>，则<math>MT</math>为曲线<math>C</math>在<math>T</math>处的切线。

那么切线的倾斜角的正切，即斜率

:<math> k=tan\alpha =\lim_{x_{1} \to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} </math>