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最初导数的计算都是来源于导数的定义。用定义法求导数是最基本的方法。

初等函数的导数的推导并不需要掌握，能看懂即可。并且导数的定义计算可能要涉及一些极限的计算，会略有纠结。有关极限的内容，请参照'''补充内容：极限的基本运算。'''

我们首先看简单一点的函数<math>y=c</math>(常数)。

根据定义，<math>f'(x)=c-c=0</math>。

即常数函数的变化率始终为0，这也是符合我们的认知的。

对于稍微复杂一些的函数 <math>y=x^{2}</math> 有

:<math> f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{2}-x^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2+2x\cdot \Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} (2x+\Delta x)=2x </math>

也就是说当x逐渐增大时，y的变化率（增长速度）一直在增大。这也是符合我们的认知的。

初等函数中更为复杂一些的函数如<math>y=\sin x</math>, 有
:<math>
\begin{align}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x \sin\Delta x-\sin x}{\Delta x} \\
&=\sin x\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x\sin\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x\sin\Delta x}{\Delta x}=\cos x
\end{align} </math>

为了方便，今后我们可以直接使用下面的导数公式表

'''''
* 若<math>f(x)=c </math>，则<math>f'(x)=0</math>
* 若<math>f(x)=x^{a}  </math>，则<math>f'(x)=ax^{a-1}</math>
* 若<math>f(x)=\sin(x) </math>，则<math>f'(x)=\cos(x)</math>
* 若<math>f(x)=\cos(x) </math>，则<math>f'(x)=-\sin(x)</math>
* 若<math>f(x)=a^{x} </math>，则<math>f'(x)=a^{x}\ln(a) </math>
* 若<math>f(x)=\mathrm{e}^{x} </math>，则<math>f'(x)=\mathrm{e}^{x}</math>
* 若<math> f(x)=\log_{a}(x) </math>，则<math>f'(x)=\frac{1}{x\ln(a)}</math>
* 若<math>f(x)=\ln(x)  </math>，则<math>f'(x)=\frac{1}{x}</math>'''''

同时，对于函数的导数，还有如下公式：

* <math>[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)+g'(x)</math>

* <math>[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)</math>

* <math>\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}</math> (g(x)≠0)

对于复合函数，有链式法则：

:<math> f[g(x)]'=f'[g(x)]\cdot g'(x) </math>

下面将举几个例子。

例：求下列函数的导数。

(1). <math>f(x)=x^{3}-2x+3</math>；

(2). <math>f(x)=3x^{2}e^{x}</math>；

(3). <math>f(x)=\ln(x+2)</math>；

(4). <math>f(x)=\sin (\pi x+\varphi)</math>。

解：(1). 根据复合函数求导法则，<math>f'(x)=(x^{3})'-(2x)'+(3)'=3x^{2}-2</math>。

(2). 令<math>f(x)=3x^{2}</math>，<math>g(x)=e^{x}</math>，
则<math>f'(x)=6x\cdot e^{x}+3x^{2}\cdot e^{x}=3xe^{x}(x+2)</math>。

(3). 显然这是复合函数。令<math>u=x+2</math>，则<math>f'(x)=[ln(u)]|_{u=x+2}\cdot (x+2)'=\frac{1}{x+2} </math>。

(4). 令<math>u=\pi x+\varphi</math>，则<math>f'(x)=\cos (\pi x+\varphi)\cdot \pi</math>。