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前面我们已经了解了原子核的内部结构，现在我们将目标转移到原子内的另一个重要组成部分——电子上。目前已知，电子是一种基本粒子，它不能再分。电子在原子核周围高速运动，这种运动是随机的，不可预测的。我们可以使用电子云来描述电子的运动。然而电子云模型需要借助量子理论作为基本研究工具，这是非常繁琐的。有没有一种更简单的方法来初步研究电子的运动呢？

当然有，我们已经学习了几个经典的原子模型，包括梅子布丁模型、卢瑟福模型以及波尔模型。虽然这些模型不能精确表述原子的内部结构及组成粒子的确切运动方式。但在精确度要求不太高的场合，我们可以使用这些经典模型对原子的结构进行合理近似。借助这些近似的经典模型，我们可以利用经典理论和极少的量子理论将复杂的问题简化，同时也可以得出与事实相同或相近的结论。

经典模型中，我们使用最多的便是波尔模型。波尔模型认为：稳定情况下，电子仅分布于稳定的离散轨道上，在这些轨道上的电子不向外释放能量。电子只能从一个稳定轨道跃迁到另一个稳定轨道。跃迁过程与外界有能量交换。

==能级==
'''定义：在波尔模型中，原子内有很多特定的可供电子稳定运行的离散轨道，在各个特定的轨道上运行的电子则对应了分立的能量值，我们将这些能量值之为能级。'''

根据定义，能级实质上就是电子所具有的总能量。其值等于电子的动能与电势能之和。如果氢原子中的电子围绕原子核做圆周运动，运动的轨道是经典轨道。电子做圆周运动的向心力是由电子和原子核之间的库仑力提供的，即：
:<math>m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}</math>
而电子的能量是动能K加上势能V：
:<math>E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}</math>

E为负数是因为假设无穷远处能级为0。显而易见，U与r呈现正相关。也就是说'''越靠近原子核的轨道能级越低，越远离原子核的轨道能级越高'''。

==跃迁==
'''定义：跃迁是指原子中价电子从一个能级或因吸收能量而迁移到更高能级、或因释放能量而迁移到更低能级的过程。'''

根据能量守恒定律，跃迁的过程总是伴随着能量的传递和转化。当电子吸收能量时，动能增大，速度增大。库仑力不能提供足够的向心力，从而使电子向外跃迁到更高的能级，使自身处于稳态。反之，电子则向内跃迁到更低的能级。

电子跃迁时，能量的传递和转化依靠一种电磁波来完成，我们称其为'''光子'''。光子同时具有波动和粒子两重性质，是一种具有分立能量的量子化波束。（我们将在下一章详细讨论粒子的波粒二象性）。光子本质上是电磁波，因此其速度都为光速c，但具有不同的频率。比如红外线的频率就小于可见光、可见光的频率就小于紫外线。光子的能量与频率相关，可以根据普朗克关系式计算：
:<math>E = h\nu</math>
其中<math>\begin{smallmatrix}h\approx6.63\times10^{-34}\ J\cdot s = 4.14\times10^{-15} eV\cdot s\end{smallmatrix}</math>为普朗克常量；<math>\begin{smallmatrix}\nu\end{smallmatrix}</math>为光子的频率。事实上，以上公式适用于所有电磁波。

根据以上公式和能量守恒定律，我们还可以得出如下推论：
:<math>E_2 - E_1 = \Delta E = h\nu</math>

==氢原子的波尔模型==
我们刚刚定性地讨论了波尔模型的能级以及电子在各能级间跃迁时的能量交换，现在我们以氢原子为例，看看波尔模型是怎么描述原子的。

首先，我们要引进里德伯公式，但并不给出证明。里德伯公式可用量子化的观点描述氢原子的光谱：
:<math>\frac{1}{\lambda} = R\left( \frac{1}{n^2} -\frac{1}{n'^{2}} \right)\qquad n=1,2, ... \qquad n^'=n+1, n+2, ...</math>
其中<math>\begin{smallmatrix}R=109 677.58 cm^{-1}\end{smallmatrix}</math>为里德伯常数。<math>\begin{smallmatrix}\lambda=\frac{c}{\nu}\end{smallmatrix}</math>为处于第n能级的电子跃迁到第n'能级需要吸收的光子的波长。

将里德伯公式与普朗克关系式结合，可以推出:
:<math>E_n=-\frac{Rhc}{n^2}</math>

可以看出，第n能级的能量只与n有关。也就是说如果求出<math>\begin{smallmatrix}E_1\end{smallmatrix}</math>（最靠近原子核的能级能量），即可求出氢原子所有能级的能量来：
:<math>E_1 = -Rhc = -13.6 eV</math>
:<math>E_n = \frac{E_1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} eV</math>

这样，我们得到了氢原子任意能级的轨道能量，利用这些能量值，我们可以轻易的推算电子跃迁时发出/吸收的光子的频率。举例来说，我们考虑氢原子的电子从第3能级跃迁到第2能级。由于第3能级的能量值高于第2能级，因此此过程放出光子。第3能级和第2能级的能量分别为：
:<math>E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -1.51 eV</math>
:<math>E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 eV</math>
根据普朗克关系式的推论可知道：
:<math>E_3 - E_2 = h\nu</math>
:<math>
\begin{align}
\nu & = \frac{E_3 - E_2}{h} \\
& = \frac{-1.51 + 3.4}{4.14\times10^{-15}} \\
& = 4.6\times10^{14} Hz \\
\end{align}
</math>

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