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Maple 微分

*Maple 的f 对x 的微分用  f'  或  diff(y,x) 表示。

Maple 的微分运算，可以方便地求出复杂的函数的微分。

*Diff算子，只显示书写形式，不作计算：

Diff(q,x,y,z);

:<math>
{\frac {\partial^3 }{\partial x\partial y\partial z}}q 
</math>

*也可以用

diff(x(t),t$5) 表示<math>\frac{d^5x(t)}{dt^5}</math>


==常微分== 
diff(5x^18,x);
<center><math>90*x^17\,</math></center>
diff(ax,x);
<center><math>0\,</math></center>
diff(ax,ax)
<center><math>1\,</math></center>
diff(a*x^2,x);
<center><math>2a*x\,</math></center>
:h := (sin(2*x-1)^2)^(3/2);
:diff(h,x);
<center><math>6*\sqrt(sin(2*x-1)^2)*sin(2*x-1)*cos(2*x-1)</math></center>
:y :=<math> \sqrt(sin(\sqrt(x)))</math>;
<center><math>y'=(1/4)*cos(\sqrt(x))/(\sqrt(sin(\sqrt(x)))*\sqrt(x))</math></center>
:y :=<math>\sqrt(sin(\sqrt(x))^2/(1+cos(x)))</math>
<center><math>y'=(1/2)*(sin(\sqrt(x))*cos(\sqrt(x))/((1+cos(x))*\sqrt(x))+sin(\sqrt(x))^2*sin(x)/(1+cos(x))^2)/\sqrt(sin(\sqrt(x))^2/(1+cos(x)))</math></center>

==偏微分==

<center><math>f := x^5*y^6*z^7</math></center>
<center><math>diff(f,x)=5*x^4*y^6*z^7</math></center>
<center><math>diff(f,y)=6*x^5*y^5*z^7</math></center>
<center><math>diff(f,z)=7*x^5*y^6*z^6</math></center>
<center><math>diff(f,x,y,z)=210*x^4*y^5*z^6</math></center>
<center><math>q := cos(x^2)</math>*<math>exp(\sqrt(y))</math>*<math>ln(tan(z))</math></center>
<center><math>diff(q,x,y,z)=-sin(x^2)*x</math><math>exp(\sqrt(y))</math>*<math>(1+tan(z)^2)/</math><math>\sqrt(y)</math>*<math>tan(z))</math></center>

==微分的应用==
费马原理：光程为极值（最小，最大，拐点）
===光在平面的反射===
[[File:Reflection of light.jpg|thumb|right|200px|光在平面上的反射]]
[[File:Reflection path length.JPG|thumb|right|200px|平面反射的光程]]
光从P点出发射向x点，反射到Q点。

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 =<math>d1=\sqrt{x^2+a^2}</math>

Q 点 到 x 点的距离=<math>d2=\sqrt{b^2+(l-x)^2}</math>

從點P到點Q的光程 D 為
:<math>D=\sqrt{x^2 + a^2}+ \sqrt{b^2 + (l - x)^2}</math> 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是极值，即 <math>D</math> 對 <math>x</math> 的導數為零：
利用Maple,可以方便地求出D对x的微分：
:<math>D'= \frac{  x}{\sqrt{x^2+a^2}}</math><math>+\frac{-l+x}{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}=0</math> 。

其中
:<math> \frac{  x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin\theta_1</math>


<math>\frac{-l+x}{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}=-\sin\theta_2</math> 。

即
:<math>\sin\theta_1 -\sin\theta_2 =0</math>

:<math>\theta_1 =\theta_2 </math>

这就是反射定律

设l =30

图示反射光程随 X 的变化，当x= 15 时，显然光程最短。

==光的球面反射==
<div style="float:right;width:150px;">
{|
|-
| [[File:Reflection for Semicircular Mirror.svg|none|thumb|150px|光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子[[反射]]，最終抵達點P。]]
|-
| [[File:Semi circle reflection.JPG|none|thumb|150px|R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长=2.82R]]
|}
</div>

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程<math>D= \sqrt{y^2+(R+x)^2}+\sqrt{y^2+(-x+R)^2}   </math>

因<math>y^2=R^2-x^2</math>;

所以

<math>D=\sqrt{2*R^2+2*x*R}+\sqrt{-2*x*R+2*R^2}</math>

根据费马原理， D'=0

利用Maple,可以方便地求出D对X的微分：

<math>D'=\frac{R}{\sqrt{2*R^2+2*x*R}}-\frac{R}{\sqrt{-2*x*R+2*R^2}}=0</math>

解之，

solve(D'，x);

: 得  <math>x=0</math>

光程<math>D=2\sqrt{2}R</math>，乃是一个最大值=2.8R；最小值光程是从直径一端到另一端，光程=2R