微分幾何/弧長與弧長參數

我們知道直線段的長度怎麼算： $L(\overline{AB})=|(x_A,y_A,z_A)-(x_B,y_B,z_B)|=\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2+(z_A-z_B{)}^2}$ 。因此我們可以用直線逼近的方式來定義曲線的弧長。

定義： 曲線 $\mathit{\alpha }$ 在區間 $[a,b]\subset I$ 的弧長為 $L(\mathit{\alpha },[a,b])=\underset{\{t_k{\}}_n}{\sup }\sum _{k=1}^n|\mathit{\alpha }(t_k)-\mathit{\alpha }(t_{k-1})|$ ，其中$\{t_k{\}}_n$為$[a,b]$的分割。若曲線可微，則我們可以得 $L(\mathit{\alpha },[a,b])=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\mathit{\alpha }}^{\prime }(t)|dt$ 。

若我們試著改變曲線參數，新參數 $u=u(t)$ 可微且嚴格遞增，而 ${\mathit{\alpha }}_u(u(t))=\mathit{\alpha }(t)$ ，我們對新的參數算弧長 $L({\mathit{\alpha }}_u,[u(a),u(b)])=\underset{u(a)}{\overset{u(b)}{\int }}|{\mathit{\alpha }}_u^{\prime }|du=\underset{u(a)}{\overset{u(b)}{\int }}|{\mathit{\alpha }}^{\prime }||\frac{dt}{du}|du=\underset{u(a)}{\overset{u(b)}{\int }}|{\mathit{\alpha }}^{\prime }|\frac{dt}{du}du=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\mathit{\alpha }}^{\prime }|dt=L(\mathit{\alpha },[a,b])$ 。由此我們發現，曲線線段的弧長跟所取得曲線參數無關。

由於上述結果，我們可以對任意正則曲線取弧長參數 $s(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|{\mathit{\alpha }}^{\prime }(t)|dt$ 。若我們將 $s$ 對 $t$ 微分 $\frac{ds}{dt}=|{\mathit{\alpha }}^{\prime }(t)|$ ，假如 $t$ 也為弧長參數，則我們發現$|{\mathit{\alpha }}^{\prime }(t)|=\frac{ds}{dt}=1$ ；反過來說若 $|{\mathit{\alpha }}^{\prime }(t)|=1$ ，則 $t=s+t_0$ 是弧長參數，即是說弧長參數與切向量長度等於 1 是充分必要條件。由於此方便的特性，我們往後會常使用弧長參數來探討曲線性質。