代數/本書課文/求和/裂項法

若數列存在一個裂項變換，則可對此數列使用裂項法求和。

一般裂項

若$x_i=y_{i+1}-y_i$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{i=a}^b(y_{i+1}-y_i)=y_{b+1}-y_b+y_b-y_{b-1}+\cdots +y_{a+1}-y_a=y_{b+1}-y_a$

若$x_i=y_i-y_{i+1}$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{i=a}^b(y_i-y_{i+1})=y_a-y_{a+1}+y_{a+1}-y_{a+2}+\cdots +y_b-y_{b+1}=y_a-y_{b+1}$}}

記$\mathrm{\Delta }{y}_i=y_{i+1}-y_i$，以上求和可以寫成：$\sum _{i=a}^b\mathrm{\Delta }{y}_i=y_{b+1}-y_a,\sum _{i=a}^b-\mathrm{\Delta }{y}_i=y_a-y_{b+1}$

隔幾項裂項

若$x_i=y_{i+k}-y_i=\sum _{j=0}^{k-1}(y_{i+j+1}-y_{i+j})=\sum _{j=0}^{k-1}\mathrm{\Delta }{y}_{i+j}$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{j=0}^{k-1}\sum _{i=a}^b\mathrm{\Delta }{y}_{i+j}=\sum _{j=0}^{k-1}(y_{b+1+j}-y_{a+j})$

和裂項

若$x_i=y_{i+1}+y_i$

$\sum _{i=a}^b(-1{)}^i{x}_i=\sum _{i=a}^b(-1{)}^i(y_{i+1}+y_i)=-\sum _{i=a}^b[(-1{)}^{i+1}{y}_{i+1}-(-1{)}^i{y}_i]$

$=-\sum _{i=a}^b\mathrm{\Delta }[(-1{)}^i{y}_i]=(-1{)}^a{y}_a-(-1{)}^{b+1}{y}_{b+1}$

待定裂項法

Template:ExampleRobox 待定係數s,t使得差比數列可以裂項：
$[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^k-[s(k-1)+t]r^{k-1}$
$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^n-t$
求出待定係數s,t關於a,d,r的表達式：
$dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s$
$s=\frac{d}{r-1},t=\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}$
$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{d}{r-1}n+\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$ Template:Robox/Close

對於多項式公比求和$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$，對數列做裂項：$p(k)q^{k-1}=f(k)q^k-f(k-1)q^{k-1}$

其中若$p(k)$是m阶階多項式，則$f(k)$是m階多項式，$f(k)$用待定係數法求出來。

$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0)$

$(A+Bk+C{k}^2)q^{k-1}=(D+Ek+F{k}^2)q^k-[D+E(k-1)+F(k-1{)}^2]q^{k-1}$

$A+Bk+C{k}^2=(qD+qEk+qF{k}^2)-[D+E(k-1)+F(k^2-2k+1)]$

$A+Bk+C{k}^2=[(q-1)D+E-F]+[(q-1)E+2F]k+(q-1)F{k}^2$

$F=\frac{C}{q-1},E=\frac{B}{q-1}-\frac{2C}{(q-1{)}^2},D=\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}$

$f(n)=[\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}]+[\frac{B}{q-1}-\frac{2C}{(q-1{)}^2}]n+\frac{C}{q-1}{n}^2$

$\sum _{k=1}^n(A+Bk+C{k}^2)q^{k-1}=\{[\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}]+[\frac{B}{q-1}-\frac{2C}{(q-1{)}^2}]n+\frac{C}{q-1}{n}^2\}{q}^n-[\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}]$

對於多項式求和$\sum _{k=1}^{n}p(k)$，對數列做裂項：$p(k)=f(k)-f(k-1)$

其中若$p(k)$是m阶階多項式，則$f(k)$是m+1階多項式，$f(k)$用待定係數法求出來。

Template:ExampleRobox 待定係數A,B,C使得等差數列可以裂項：
$a+(k-1)d=A+Bk+C{k}^2-[A+B(k-1)+C(k-1{)}^2]$
$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]=A+Bn+C{n}^2-A=Bn+C{n}^2$
求出待定係數B,C關於a,d的表達式： $a-d+dk=B-C+2Ck$
$C=\frac{d}{2},B=a-\frac{d}{2}$
$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]=(a-\frac{d}{2})n+\frac{d}{2}{n}^2=an+d\frac{n(n-1)}{2}$
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