基础力学/冲量、动量与动量定理

 动量、动量守恒

动量（momentum）的定义是质量与速度的乘积：$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$，单位是$\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}$ .动量是一个矢量，其方向与物体运动速度的方向相同，这一点从它的定义也能看出。

动量所表示的物理含义是，物体在运动方向上保持运动趋势的能力。动量越大，则改变物体的运动趋势越困难。

如果一个系统不受外力（这个条件一般是不成立的，除非是理想实验）或合外力为零，那么这个系统的动量守恒。系统内部的相互作用不会改变系统的动量，系统的动量等于系统中各个物体动量的矢量和。

冲量、冲量定理

冲量是以导出量，其表述形式为：$\overrightarrow{I}=\overrightarrow{F}(t)\mathrm{\Delta }t$，单位是$\overrightarrow{N}\cdot \mathrm{s}$.冲量反映了力作用的时间积累效果。

冲量定理：冲量的大小等于物体动量的变化量。用公式表述，其形式为$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{F}(t)dt=m\overrightarrow{v}-m\overrightarrow{v_0}$.由于冲量定理显示了冲量和动量之间的联系，所以动量的单位除了$\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}$之外，还有$\overrightarrow{N}\cdot \mathrm{s}$这个单位。

质点组的情况

设有一组质点，编号为$1,2,3,\cdots ,n$，第$i$个质点的质量为$m_i$，动量为${𝒑}_i$，受到的力为${𝒇}_i$，我们把${𝒇}_i$分成两部分${𝒇}_i={𝒇}_i^{in}+{𝒇}_i^{ex}$，一部分是来自质点组内部的其它粒子的${𝒇}_i^{in}=\sum _{j\ne i}{𝒇}_{j\to i}$，其中${𝒇}_{j\to i}$是粒子$j$对粒子$i$的力；另一部分是来自质点组外部的${𝒇}_i^{ex}$。定义质点组的总动量 $𝑷\equiv \sum _i{𝒑}_i$， 质点组受到的合外力$𝑭\equiv \sum _i{𝒇}_i^{ex}$， 于是 $\frac{d}{dt}𝑷=\frac{d}{dt}\sum _i{𝒑}_i=\sum _i\frac{d}{dt}{𝒑}_i=\sum _i{𝒇}_i=\sum _i({𝒇}_i^{in}+{𝒇}_i^{ex})=\sum _i{𝒇}_i^{in}+\sum _i{𝒇}_i^{ex}=\sum _i{𝒇}_i^{ex}=𝑭$

其中用到了 $\sum _i{𝒇}_i^{in}=\sum _i\sum _j{𝒇}_{j\to i}^{in}=\sum _j\sum _i{𝒇}_{j\to i}^{in}=\sum _i\sum _j{𝒇}_{i\to j}^{in}=\frac{1}{2}\sum _i\sum _j({𝒇}_{j\to i}^{in}+{𝒇}_{i\to j}^{in})=0$

因此质点组的总动量的变化率与合外力成正比。

质点组的总动量可以写成如下形式 $𝑷=M\cdot \frac{𝑷}{M}=M\cdot \frac{\sum _i{𝒑}_i}{M}=M\frac{\sum _i{m}_i{𝒗}_i}{M}=M\frac{\sum _i{m}_i(d/dt){𝒓}_i}{M}=M\frac{d}{dt}\frac{\sum _i{m}_i{𝒓}_i}{M}=M\frac{d}{dt}{𝒓}_C=M{𝒗}_C$

其中我们引入质心的定义 ${𝒓}_C\equiv \frac{\sum _i{m}_i{𝒓}_i}{M}$

$M=\sum _i{m}_i$是质点组的总质量。

质心速度 ${𝒗}_C\equiv \frac{d}{dt}{𝒓}_C$