高中物理/力與運動/自由落体运动与竖直上抛运动

自由落体运动

定义

定义1：物体仅在重力作用下从静止开始的运动为自由落体运动（free-fall）。

自由落体运动是初速度为0，加速度为$𝒈$的匀加速直线运动。

自由落体加速度

在同一地点，任何做自由落体运动的物体加速度相同，记作$𝒈$，称作自由落体加速度或重力加速度，方向竖直向下。$𝒈$值随高度增大而减小，随纬度增大而增大。在通常计算中取值9.8 m/s²或10 m/s²。

自由落体运动中相关物理量的关系

因为自由落体运动是初速度为0，加速度为$𝒈$的匀加速直线运动，其符合匀加速直线运动的一般规律。

速度与时间的关系：$𝒗=𝒈t$

位移与时间的关系：$𝒙=\frac{1}{2}𝒈t^2$

位移与速度的关系：${𝒗}^2=2𝒈\cdot 𝒙$

所以，其满足以下数学比例式：

从运动开始时刻起，经相同时间间隔物体末速度：1∶2∶3∶4∶…∶n∶…

从运动开始时刻起，经相同时间间隔物体累计位移：1∶4∶9∶16∶…∶n²∶…

从运动开始时刻起，经相同时间间隔物体位移变化量：1∶3∶5∶7∶…∶2n-1∶…

竖直上抛运动

定义

定义2：物体以某初速度上抛，仅受重力作用的运动为竖直上抛运动（vertically upward projectile motion）。

竖直上抛运动是初速度不为0，加速度为$𝒈$的匀变速直线运动。 与其它匀加速直线运动类似，竖直上抛运动满足：

速度与时间的关系：$𝒗={𝒗}_0+𝒈t$

位移与时间的关系：$𝒙={𝒗}_{0}t+\frac{1}{2}𝒈t^2$

位移与速度的关系：${𝒗}^2-{𝒗}_0^2=2𝒈\cdot 𝒙$

注意上述为矢量式，需注意初速度矢量方向与重力加速度相反。

若改写为标量式，因为$𝒈$方向与初速度方向相反，须加上负号：

速度与时间的关系：$v=v_0-gt$

位移与时间的关系：$x=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

位移与速度的关系：$v^2-v_0^2=2gx$

竖直上抛运动的对称性

当物体竖直上抛减速至速度为0后，之后所做运动自然就可以视作自由落体运动。那么在此之前呢？

在此之前，物体同样只受加速度$𝒈$，而物体的末速度为0。那么假如（只是假如）时间反演，那么物体就变成从静止开始以加速度$𝒈$匀加速竖直向下运动。这时就跟自由落体运动一模一样了。所以竖直上抛运动有对称性。

事实上，所有末速度为0的匀减速运动均可以视作时间反演的初速度为0的匀加速运动，这可以给我们研究问题带来方便。