高中数学/不等式与数列/平均值不等式

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

先前我们已经了解，任何实数的平方或取实数值的代数式的平方一定不会小于0，这是推导各种常用不等式的起点。

基础知识

2种平均数的定义与基本不等式

定义：对于任意的2个正数，称$\frac{a+b}{2}$叫做它们的算术平均数（arithmetic mean），$\sqrt{ab}$叫做它们的几何平均数（geometric mean）。

定理：任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即对于任意的正数a和b，一定有：$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
当且仅当（if and only if，缩写为“iff.”）a = b时，上式中的等号成立。
这个不等式也叫做算术-几何平均值不等式（inequality of arithmetic and geometric means），简称平均值不等式或基本不等式。

证明：
$\begin{array}{cc}\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}>0& \iff a+b\ge 2\sqrt{ab}>0\\ & \iff (a+b{)}^2\ge 4ab>0\\ & \iff a^2+2ab+b^2\ge 4ab>0\\ & \iff a^2+2ab+b^2-4ab\ge 0\\ & \iff a^2-2ab+b^2\ge 0\\ & \iff (a-b{)}^2\ge 0\\ \end{array}$
最后一个式子显然成立，并且上式中的等号当且仅当a = b时才成立。证明完毕。

注意：(1)只有保证a和b都是正数的前提下，才能套用平均值不等式。(2)不等式的取等条件是否成立非常重要，在证明题和解答题中都需要单独说明。

对平均值不等式的多种理解

算术-几何平均值不等式的几何意义。

从几何角度看，基本不等式本身的意义如右图所示。另一方面，从代数角度来看，平均值不等式可以说明对于2个正数：

• 如果限定它们的和为固定值，那么它们的乘积一定存在最大取值$\sqrt{ab}$。
• 如果限定它们的乘积为固定值，那么它们的和一定存在最小取值$\frac{a+b}{2}$。

常用以口诀简记为“和定积最大，积定和最小”。“和定积最大”的意义是说当长方形的周长一定时，其面积有最大值，当且仅当长方形是正方形时面积值达到最大；“积定和最小”的意义是说当长方形的面积一定时，其周长有最小值，当且仅当长方形是正方形时周长值达到最大。

提示：对于了解过等差数列和等比数列概念的读者，如果把$\frac{a+b}{2}$看作是正数a和b的等差中项，$\sqrt{ab}$看作是它们的等比中项，那么这个基本不等式也可以表述为任意两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。

简单的分式最值

相关例题1： 已知x > 0，求函数$y=x+\frac{1}{x}$的最小值。

解答：
因为$x>0,\frac{1}{x}>0$，所以由平均值不等式可知：
$x+(\frac{1}{x})\ge 2\sqrt{x\times (\frac{1}{x})}=2\sqrt{1}=2$
当且仅当$x=\frac{1}{x}$（此时$x=1$，另一个解$x=-1$因不满足条件$x>0$而舍去）时上式中的等号成立。
所以原函数的最小值为2。

答案：$2$。

相关例题2： 已知x > 0，求函数$y=x+\frac{x^2+1}{x}$的最小值。

相关例题3： 已知x > 1，求函数$y=x+\frac{x+3}{x-1}$的最小值。

解答：
$x+\frac{x+3}{x-1}=x+\frac{(x-1)+4}{x-1}=x+\frac{x-1}{x-1}+\frac{4}{x-1}=x+1+\frac{4}{x-1}=(x-1)+\frac{4}{x-1}+2$
因为$x-1>0,\frac{4}{x-1}>0$，所以由平均值不等式可知：
$y=(x-1)+\frac{4}{x-1}+2=2\sqrt{(x-1)\times \frac{4}{x-1}}+2=2\sqrt{4}+2=6$
当且仅当$x-1=\frac{4}{x-1}$（此时$x=3$，另一个解$x=-1$因不满足条件$x>1$而舍去）时上式中的等号成立。
所以原函数的最小值为6。

答案：6。

相关例题4： 已知x > 1，求函数$y=\frac{x^2+1}{x-1}$的最小值。

相关例题5： 已知x > 0，求函数$y=\frac{x}{x^2+4}$的最大值。

相关例题6： 已知a > b > c，比较$\sqrt{(a-b)(b-c)}$与$\frac{a-c}{2}$的大小关系。

项的简单配凑

相关例题1： 已知x > 3，求函数$y=x+\frac{4}{x-3}$的最小值，并求取到最小值时x的值。

相关例题2： 已知$x>\frac{1}{2}$，求函数$y=\frac{2x^2+x+1}{2x-1}$的最小值。

相关例题3： 已知x > 3，求函数$y=\frac{3-x}{x^2+x+1}$的最小值。

相关例题4： 求函数$y=3x^2+\frac{6}{x^2+1}$的最小值。

解决某些二次函数的极值问题

相关例题1： 已知0 < x < 3，求使得函数$y=x(3-x)$取得最大值时x的值。

相关例题2： 利用平均值不等式求解下列各个函数的最小值：
(1)$y_1=(x-1)(x+2)(-2\le x\le 1)$。
(2)$y_2=(x-1)(x-2)(1\le x\le 2)$。
(3)$y_3=(x+1)(x+2)(-2\le x\le -1)$。
(3)$y_4=(x-1)(2x+1)(-2\le x\le -1)$。

相关例题3： 已知x > 0，求函数$y=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-3}$的最大值。

常用结论与常见模型

使用基本不等式求最值的关键是拼凑出“定和”或“定积”的形式，并保证等号要能成立。常用技巧包括：

• 加项或拆项。
• 减少变量数目或统一变元
• 平方后再利用基本不等式
• 利用约束条件中的常量代换

约束条件的代换

有时候，要求最值的式子和所给的定值约束条件不太相符。这时可以考虑利用约束条件可以进行变量或常量的等价替换，以便拼凑出满足基本不等式的形式条件。

• 通过换元，将包含多个变量的式子减少变量数目或统一变元。
• 常量代换，这种方法最常用于“已知$ma+nb=k$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值”和“已知$\frac{m}{a}+\frac{n}{b}=1$，求$a+b$的最小值”的题型（其中m和n是已知常数，且a、b、m、n均为正数）。

相关例题1： 已知a > 0，b > 0，且$a+b=2$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值。

相关例题2： 已知a > 0，b > 0，且$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}=1$，求$a+b$的最小值。

相关例题3： 若正数a、b满足$a^2+3ab-1=0$，求$a+b$的最小值。

相关例题4： 设$a+3b-2=0$，求$3^a+27^b+1$的最小值。

相关例题5： 已知a > 0，b > 0，$a+2b+2ab=8$，求$a+2b$的最小值。

相关例题6： 设正实数a、b、c满足$a^2-3ab+4b^2-c=0$，则当$\frac{c}{ab}$取最小值时，求$a+2b-c$的最大值。

系数的配凑

相关例题1： 已知a > 0，b >0，$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=2$，求$ab$的最大值，并求取到最大值时a、b的值。

相关例题2： 已知正实数a、b满足$a+b=4$，求$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$的最小值。

基本不等式的多次应用与简单的3元情形

相关例题1： 已知a > 0，b > 0，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$的最小值。

相关例题2： 已知0 < x < 2，求$x^2(2-x)$的最大值。

相关例题3： 已知a、b、c都是正数，求证：$(a+b)(b+c)(a+c)\ge 8abc$。

相关例题4： 设$a,b,c>0$，求证：$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。

相关例题5： 求证：$3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c{)}^2$。

证明：
$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2\ge 2ab\\ b^2+c^2\ge 2bc\\ c^2+a^2\ge 2ca\end{array}\\ \Rightarrow (a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\ge 2ab+2bc+2ca\\ \Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)\\ \Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)\\ \Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c{)}^2\end{array}$
上式中的等号当且仅当$a=b=c$时成立。证明完毕。

相关例题6： 已知a、b、c都是正数，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c$。

相关例题7： 已知a、b、c是互不相等的正数，且$a+b+c=1$，求证：$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\ge 8$。

相关例题8： 已知a、b、c为不全相等的正实数，且$abc=1$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$。

对勾型函数的最值

相关例题1： 求$y=e^x+e^{-x}$的最小值。

相关例题2： 求$y=\frac{\sin x}{2}+\frac{2}{\sin x}(0<x<\pi )$的最小值。

结合对数知识的考察

相关例题1： 已知a > 0，b > 0，且$\lg 2^a+\lg 8^b=\lg 2$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{3b}$的最小值。

相关例题2： 若$2^a+2^b=1$，求$a+b$的取值范围。

相关例题3： 比较$\lg 9\times \lg 11$与$1$的大小关系。

相关例题4： 已知a、b是正实数，且$2a+5b=20$，求：
(1)$\lg a+\lg b$的最大值；
(2)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值。

相关例题5： 已知函数$f(x)=\lg x(x\in {ℝ}^{+})$，若$x_1,x_2\in (-0,+\mathrm{\infty })$，请比较$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$与$f(\frac{x_1+x_2}{2})$的大小关系。

2元的平均数不等式链

对于2个正数a和b，有下列不等式链成立：
$\min \{a,b\}\le \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le \max \{a,b\}$
或
$\min \{a^2,b^2\}\le (\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{)}^2\le ab\le (\frac{a+b}{2}{)}^2\le \frac{a^2+b^2}{2}\le \max \{a^2,b^2\}$
当且仅当a = b时，以上各等号同时成立。

它可以看作平均数不等式在只涉及2个变元时的特殊情形，给出了4种最常见的平均数的大小顺序。

相关例题： 已知a > 0，b > 0，求$\frac{a+b}{2}$、$\sqrt{ab}$、$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$、$\frac{2ab}{a+b}$中最小的一项一定是哪一项。

视野拓展：不等式链可以扩充到令人大跌眼镜的程度。例如对于$0<a\le b$，可以得到： $\begin{array}{c}a<(a^b{b}^a{)}^{\frac{1}{a+b}}<\sqrt{\frac{2a^2{b}^2}{a^2+b^2}}<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\frac{(ab{)}^{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}(a^{\frac{1}{\sqrt{3}}}+b^{\frac{1}{\sqrt{3}}})}{2}<\frac{b-a}{\ln b-\ln a}\\ <(\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{2}{)}^3<(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}{)}^2<\frac{a+\sqrt{ab}+b}{3}<(\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{2}{)}^{\frac{3}{2}}<\frac{1}{e}(\frac{a^a}{b^b}{)}^{\frac{1}{a-b}}\\ <\frac{a+b}{2}<\frac{2}{3}\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}<\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}<(a^a{b}^b{)}^{\frac{1}{a+b}}<\frac{a^2+b^2}{a+b}<\sqrt{a^2-ab+b^2}<b\end{array}$
显然，这是一个很不和谐的东西，拿它来为难同学或老师都是非常不道德的行为。它只适合有收集癖的读者。其中的某些中间链条涉及不少变形技巧与其它知识，并非仅靠套用基本不等式就能得到简洁证明的。

上述均值不等式链的一部分——对数均值不等式（ALG不等式）在解决函数的极值点偏移问题上有着重要的应用。

补充习题

• 已知$a,b>0$，求证：$\frac{a}{b}\ge 4(a-ab)$。
• 已知$a,b>0,a+2b=1$，求证：$ab\le \frac{1}{8}$。
• 已知0 < x < 1，请用平均值不等式说明当x取何值时，$\sqrt{x(1-x)}$可取到最大值。
• 已知0 < x < 2，求$\sqrt{x(2-x{)}^2}$的最大值。
• 已知x > 0，求$(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的最小值。
• 判断下列做法是否有误。如果有误，请指出具体出错原因。

(1)设x > 0，因为$(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\ge 2\sqrt{(x+\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x+\frac{1}{x}}}=2\sqrt{1}=2$，所以$(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$有最小值2。

(2)设k > 1，因为$(1-\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{k})(2+\frac{1}{k})\le \frac{1}{2}(\frac{(1-\frac{1}{k})+(2+\frac{1}{k})}{2}{)}^2=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}{)}^2=\frac{9}{8}$，所以$(1-\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})$有最大值$\frac{9}{8}$。

(3)设x > 0，因为$2x(x+1)\le (\frac{(2x)+(x+1)}{2}{)}^2=(\frac{3x+1}{2}{)}^2$，所以$\frac{(3x+1{)}^2}{2x(x+1)}\ge \frac{(3x+1{)}^2}{(\frac{3x+1}{2}{)}^2}=4$，所以$\frac{(3x+1{)}^2}{2x(x+1)}$有最大值4。

(4)因为$3\sqrt[3]{2x(1-x)(2-x)}\le 2x+(1-x)+(2-x)=3$，所以$x(1-x)(2-x)$有最大值1。