國中數學/國中數學七年級上冊/1-4 指數記法與科學記號

指數記法

緒論

• 在數學中，我們把一個數字$n$，連乘$a$次時，可以簡記為 $n^a$，讀做「$n$的$a$次方」。這種運算方式也被稱為冪運算。
  
• 在這個例子中，我們稱$n$為這個指數的「底數」，$a$為這個指數的「指數」。
  

指數記法（0與1）

• 當一個指數律，其指數為1時，通常會省略不記。例如：$5^1$會記為$5$。
  
• 當一個指數律，底數為0時，例如$0^1$、$0^2$、$0^3$等，$0^n$$(n\ne 0)$的值都會是$0$。
  
• 當一個指數律，底數為1時，例如$1^1$、$1^2$、$1^3$等，$1^n$的值都會是$1$。
  
• 當一個指數律，指數為0時，例如$1^0$、$2^0$、$3^0$等，$n^0$的值都會是$1$。
  

隨堂練習1 Template:小学数学-习题图标

1. $7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7$的指數記法為：
2. $(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$的指數記法為：
3. $0^0$的值為：
4. $1^{1000}$的值為：

指數的運算

指數的值

• 承 隨堂練習1 ，我們知道如何簡記冗長的乘法表達式，接著要來運算它。
  
• $(-3{)}^4$的值即為$(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$，也就是$81$。
  
• $-3^4$的值即為$3\times 3\times 3\times 3$，也就是$-81$，請務必記得觀察負號的位置。
  

含指數的四則運算

• 在四則運算時，我們將指數視為一個括號「$()$」，應該先算。
  
• 例如，$500$÷$(-5{)}^2$應該先算$(-5{)}^2$，再將$500$÷$25$，其值為$20$。
  
• 切記，指數運算完畢後再遵循「先乘除後加減」的規定。
  

比較指數的大小

• 如果$a$是正數且$a>1$，$n$越大，$a^n$值會越大；
• 如果$b$是正數且$b<1$，$n$越大，$b^n$值會越小。

趣味應用

• 一張紙摺疊32次後，可以到達月球。
• 假設你原來的能力為1，每天進步百分之一，一平年之後你的能力會是37.8。($(1.01{)}^{365}\approx 37.8$)
• 假設你原來的能力為1，每天退步百分之一，一平年之後你的能力會剩下0.03。($(0.99{)}^{365}\approx 0.03$)

隨堂練習2 Template:小学数学-习题图标

1. $(-2{)}^4$的值為：
2. $-2^3$的值為：
3. $64$÷$(-2{)}^2$的值為：
4. 令$a=(1.5{)}^{100}$，$a=(1.5{)}^{101}$，$a=(1.5{)}^{102}$，試比較$a$、$b$、$c$的大小。
5. 令$d=(0.5{)}^{100}$，$e=(0.5{)}^{101}$，$f=(0.5{)}^{102}$，試比較$d$、$e$、$f$的大小。

科學記號

緒論

• 當我們在表示一個極大的數或極小的數時，我們通常會使用科學記號來表示它。像$22,000,000$或是$0.0000035$這種數就非常適合用科學記號來表示。

10的次方及其位值

• 在科學記號中，我們會使用到10的次方來表示。我們知道$10^1$就是$10$、$10^2$就是$100$、$10^3$就是$1000$……
• 那麼小數應該如何表示呢？

10的次方及其位值表

位名	千位	百位	十位	個位	十分位	百分位	千分位
位值	$1000$	$100$	$10$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
10的次方	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$

• 透過觀察上面的表格。其實不難發現，每當位值變為$10$倍時，$10$的次方會增加$1$；每當位值變為$\frac{1}{10}$倍時，$10$的次方會減少$1$。因為$1$是$10$的$0.1$倍，我們規定$1=10^0$。同理也可以應用在$0.1=10^{-1}$、$0.01=10^{-2}$，以此類推。
• 事實上，如果$m$是正整數，則$(0.1{)}^m=10^{-m}$。
• 補充：科學上也常常使用底數為$10$的指數記法來表示長度單位。例：一奈米=$10^{-9}m$。

表示方式

• 以$a\times 10^m$來表示，其中$1\le a<10$。
  
• 訣竅：例如$1000000$，$1$後面有$6$個零，那麼此數必是$10$的$6$次方。
  例如$0.000001$，$1$在小數點第$6$位，那麼此數必是$10$的$-6$次方。

[範例一] $140000$以科學記號表示：
$=1.4\times 100000$
$=1.4\times 10^5$

[範例二] $0.00000037$以科學記號表示：
$=3.7\times 0.0000001$
$=3.7\times (0.1{)}^7$
$=3.7\times 10^{-7}$

隨堂練習3Template:小学数学-习题图标

1. 判斷下列何者是正確的科學記號：(複選題)
　　(A) $16.25\times 10^7$
　　(B) $4.25\times 10^{-1}$
　　(C) $7.6\times 8^{-5}$
　　(D) $8.5\times 10^3$
　　(E) $24.25\times (-5{)}^7$
　　(F) $5.84\times 10^{-8}$

2. 請將數字轉換為正確的科學記號：
　　(1) $48000$
　　(2) $1890000$
　　(3) $0.000007$
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