訊號與系統/週期訊號的傅立葉轉換

週期訊號的傅立葉轉換－方法一

已知 x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為 $T_0$，故 x(t) 的傅立葉級數為： $x(t)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}$ ， $f_0=\frac{1}{T_0}$

x(t)的傅立葉轉換：$x(f)$=$\mathrm{\Im }$ {$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}$ } =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n\mathrm{\Im }$ {$e^{j2\pi n{f}_{0}t}$} =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n\delta (f-f_0)$

回憶第四章所提週期訊號 x(t) 的頻譜是由傅立葉級數的係數所構成，為線頻譜。 上述週期訊號 x(t) 的傅立葉轉換(Note：傅立葉轉換也是代表訊號的頻譜) $\mathrm{\Im }$ {$X(t)$} = $X(f)$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n\delta (f-f_0)$

也是由傅立葉級數的係數Xn所構成。

結論：無論傅立葉級數或傅立葉轉換均可用來求得週期訊號的頻譜。兩者均由傅立葉級數的係數Xn所構成。不同之處為： 注意:由傅立葉級數求得之振幅頻譜為$|Xn|$ ，只是一個數值；由傅立葉轉換求得之振幅頻譜為一根ㄧ根的脈衝函數。(此因傅立葉轉換所得為振幅密度頻譜)

試分別用傅立葉級數及傅立葉轉換求下列週期訊號 x(t) 的頻譜。

【解】 (1)求 x(t) 的傅立葉級數

$x(t)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}$其中$f_0=\frac{1}{T_0}$ = 200MHz

(2)

$Xn$ =$\frac{1}{T_0}\underset{t_0-\frac{2}{T_0}}{\overset{t_0+\frac{2}{T_0}}{\int }}X(t)e^{j2\pi n{f}_{0}t}dt$ =$\frac{1}{T_0}\underset{t_0-\frac{2}{T_0}}{\overset{t_0+\frac{2}{T_0}}{\int }}A{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}dt$ =$\frac{A\tau }{T_0}\sin c(n{f}_0\tau )e^{-j2\pi n{f}_0{t}_0}$ =$1.6\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f_0*10^{-}6}$

$\Rightarrow$$|Xn|$ =$|1.6\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6)|$

$\mathrm{\angle }Xn$ =$[\mathrm{\angle }\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6)]+(0.004\pi f_0*10^{-}6)$

(3)因為

$x(t)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}$

取傅立葉轉換得

$X(f)$ =$\mathrm{\Im }$ {$X(t)$} =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[1.6\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6n{f}_0)e^{-j0.004\pi f_0*10^{-}6}]$$\delta (f-f_0)$

故

$|X(f)|$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}>|1.6\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6)|\delta (f-n{f}_0)$

$\mathrm{\angle }X(f)=\{\begin{array}{cc}[\mathrm{\angle }\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6)]-(0.004\pi f_0*10^{-}6),& f=n{f}_{0}n=0,\pm 1,\pm 2,...\\ 0,& other\end{array}$

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範例5.26

試求脈衝序列(impulse train)

${\delta }_{T0}(t)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$\delta (t-n{T}_0)$

的傅立葉轉換。

【解】

                (1)脈衝序列${\delta }_{T}0(t)$為一週期訊號，基本週期為T_0
         
              (2)用傅立葉級數表示

${\delta }_{T}0(t)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$\delta (t-n{T}_0)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Delta }}_n{e}^{j2\pi n{f}_0}$ , $f_0=\frac{1}{T_0}$

其中${\mathrm{\Delta }}_n$ =$\frac{1}{T_0}\underset{t_1}{\overset{t_1+T_0}{\int }}{\delta }_{T_0}(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$ =$\frac{1}{T_0}\underset{\frac{2}{-T_0}}{\overset{\frac{2}{T_0}}{\int }}{\delta }_{T_0}(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$ =$\frac{1}{T_0}\underset{\frac{2}{-T_0}}{\overset{\frac{2}{T_0}}{\int }}\delta (t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$ =$\frac{1}{T_0}$ =$f_0$

故${\delta }_{T_0}(t)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$\delta (t-n{T}_0)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_0{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}$

(3) ${\delta }_{T_0}(t)$的傅立葉轉換

$\mathrm{\Im }$ {${\delta }_{T_0}(t)$} =${\mathrm{\Delta }}_{T_0}(f)$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$f_0\delta (f-n{f}_0)$

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週期訊號的傅立葉轉換—方法二

x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為T_0

定義：

$X_p(t)=\{\begin{array}{cc}X(t),& t1<t<t1+T_0\\ 0,& other\end{array}$

故

X_p(t)* \delta_{T0}(t) = X_p(t)* [$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$f_0\delta (t-n{T}_0)$] =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$[X_p(t)*\delta (t-n{T}_0)]$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$X_p(t-n{T}_0)$ = X(t)

所以

X(f) =$\mathrm{\Im }$ {$X(t)$} =$\mathrm{\Im }$ {$X_p(t)*{\delta }_{T0}(t)$} $X_p(f){\delta }_{T0}(f)$ = X_p(f)$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$f_0\delta (f-n{f}_0)$ = f_0$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$X_p(n{f}_0)\delta (f-n{f}_0)$

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範例5.27

同先前範例5.25，試改用第二種方法求下圖 x(t) 之傅立葉轉換。

【解】︰

                (1)上圖週期訊號 x(t) 可表示成

$X(t)=X_P(t)*{\delta }_{T0}(t)$ $(T_0=0.005us)$

其中

$X_P(t)=4rect(\frac{t-0.002*10^{-}6}{0.002*10^{-}6})$

(2)已知

$X_p(f)$ =$\mathrm{\Im }$ {$X_p(t)$} =$(0.008*10^{-}6)\sin c(0.002f*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}$

${\delta }_{T0}(f)$ =$\mathrm{\Im }$ {${\delta }_{T0}(t)$} = $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$f_0\delta (f-n{f}_0)$ , $f_0=200MHz$

(3)故

$X(f)=X_P(f){\delta }_{T0}(f)$ =$[(0.008*10^{-}6)\sin c(0.002f*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_0\delta (f-n{f}_0)]$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[1.6\sin c(0.002n{f}_0*10^{-}6)e^{-j0.004\pi f*10^{-}6}]\delta (f-n{f}_0)$