微分几何/參數曲線

在真正開始研究曲線前，我們必須先對曲線做好定義。

就一般人以抽象的概念來看，曲線應該是在空間中的一種一維連續物件。而為了很方便的展現此種一維以及連續性質，我們很自然的就用參數式來描述曲線。而在微分幾何的範圍裡，我們理所當然的會要求可微性（我們說一個實數函數可微，指此函數在任意點接存在任意階導數）。因此我們有以下的定義：

定義：可微參數曲線是一個可微函數 $\mathit{\alpha }:I\mapsto {ℝ}^3$ ，其中 $I=(a,b)\subseteq ℝ$ 為一開區間。

上述函數的可微性是指，當我們寫成笛卡爾座標 $\mathit{\alpha }(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 時，$x(t)$ 、 $y(t)$ 及 $z(t)$ 皆為可微實數函數。當中的 $t\in I$ 稱為曲線的參數，而開區間 $I$ 的上下界可以是 $\pm \mathrm{\infty }$。