多項式

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多項式的定義

多項式，即式子$f(x)=a_n{x}^n+......+a_{1}x+a_0$，而且若$n$為正整數，則稱此式為多項式 Template:Wikipedia

名詞解釋

項：多項式中每一個$x^n$皆稱之為多項式的項

次數：多項式$x^n$中每一項的n為此項的次數

同次項：若有多個多項式，其中每一項的$x^k$項稱之為同次項

首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為$n$，則稱此多項式為$n$次多項式

項數：顧名思義，即為多項式項的數目

係數：指任意多項式$a_n{x}^n$中的$a_n$且$a_n$為多項式

零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式$f(x)$中，$f(x)=c$，而沒有其他$x^n$的項，其中$c$為常數

零多項式：零次多項式中的$c=0$者稱

多項式及非多項式

多項式裡面的任意$x^n$的$n$必須為正整數，否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式：

$x^{10}+60x^8-33x^5+42x^2-3$、$(\sqrt{2}-\sqrt[3]{5})x^2-\sqrt[4]{6}$、${\pi }^e{x}^{10^{10}}-6x+1$、$(3+i)x^5-2i{x}^2+1$

以下的式子不為多項式：

$2x^3+10x^{-1}$、$5x^{\sqrt{2}}+x^{3\pi }+2x-1$、$x^3-5x^{\frac{2}{3}}+4\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x^5}$、$\sqrt{1+x^2}$

多項式的計算

多項式有類似於一般數字的運算，凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法

 當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫

加法

若有兩個多項式$f(x)$和$g(x)$，它們的同次項可相加，例子如下： 例：$f(x)=2x^4+3x^3+2x^2+5x+5$、$g(x)=5x^4+10x^3+x^2+3x+2$則

$f(x)+g(x)=(2x^4+3x^3+2x^2+5x+5)+(5x^4+10x^3+x^2+3x+2)=7x^4+13x^3+3x^2+8x+7$

減法

例：$f(x)=36x^5+7x^4+66x^3+36x^2+66x+6$、$g(x)=5x^5-73x^4-11x^3-11x^2+5x+3$則

$f(x)-g(x)=(36-5)x^5+(7+73)x^4+(66+11)x^3+(36+11)x^2+(66-5)x+(6-3)=31x^5+80x^4+77x^3+47x^2+61x+3$

乘法

多項式的乘法，$f(x)g(x)$就是$f(x)$的每一項，都乘以$g(x)$的每一項，有次方的就累積。
例：$f(x)=x^2+x+36,g(x)=x^2+x+11$
則：$f(x)g(x)=36x^2+36x+36*11+11x^2+11x+x^3+x^2+x^4+x^3=x^4+(1+1)x^3+(36+11+1)x^2+(36+11)x+(36*11)=x^4+2x^3+48x^2+47x+396$

除法

多項式除法，如$f(x)$除以$g(x)$，意即求出商式$q(x)$和餘式$r(x)$，

使得$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，其中$\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(g)$

多項式長除法

多項式與多項式之間的長除法，步驟類同於數與數之間的長除法

Template:ExampleRobox如下寫上被除式與除式

$\begin{array}{c}\\ x+5& )\begin{array}{c}{x}^2+36x+155\end{array}\end{array}$

首先要消掉$x^2$這一項，$x$乘上$x+5$是二次多項式，把$x$記到商式部份

$\begin{array}{cc}& x\\ x+5& )\begin{array}{c}{x}^2+36x+155\end{array}\end{array}$

把$x(x+5)=x^2+5x$寫到被除式的下方

$\begin{array}{cc}& x\\ x+5& )\begin{array}{c}{x}^2+36x+155\end{array}\\ & -\underset{\_}{(x^2+5x)}\end{array}$

與被除式相減

$\begin{array}{cc}& x\\ x+5& )\begin{array}{c}{x}^2+36x+155\end{array}\\ & -\underset{\_}{(x^2+5x)}\\ & (36-5)x+155\end{array}$

把相減得到的結果看成另外一個被除式，重復以上步驟

$\begin{array}{cc}& x+31\\ x+5& )\begin{array}{c}{x}^2+36x+155\end{array}\\ & -\underset{\_}{(x^2+5x)}\\ & 31x+155\\ & -\underset{\_}{(31x+155)}\\ & 0\end{array}$

在這個例子中商式為$x+31$，餘式為0 Template:Robox/Close

綜合除法

一般的綜合除法能計算除式形如$x-k$的除法。

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ k\\ \end{array}& \begin{array}{cc}f(x)& \\ & \\ q(x)& r\end{array}\end{array}$

得出形如$f(x)=(x-k)q(x)+r$的恆等式。

Template:ExampleRobox在頂部寫上被除式的各項系數，左邊寫上k

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & & \end{array}\end{array}$

把被除式最高次項的系數寫下來

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & & \\ 1& & & \end{array}\end{array}$

乘上左邊的常數再放上第二行

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & 3& & \\ 1& & & \end{array}\end{array}$

與上面的系數相加，寫到下面

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & 3& & \\ 1& -9& & \end{array}\end{array}$

重複乘法加法運算，直到除法結束

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & 3& -27& -81\\ 1& -9& -27& -123\end{array}\end{array}$

結果得出商式為$x^2-9x-27$，餘式為$-123$ Template:Robox/Close

餘式定理

多項式$f(x)$除以$x-a$的餘式為$f(a)$，$(x-a)|f(x)\iff f(a)=0$

Template:Robox由多項式除法得到： $f(x)=(x-a)q(x)+r$
因為除式為一次多項式，所以餘式一定是常數，代入$x=a$，得到$f(a)=r$
Template:Robox/Close

習題

1. 求$f(x)=2x^4+3x^3+2x^2+5x+5$ 除以$x+2$的餘式
2. 用長除法求$f(x)=x^3+36x^2+36x+155$ 除以$x^2+5x+5$的餘式

因式分解

因式分解和整式的乘法一样，是一种整式的恒等变形，但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式$(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn$从左向右是整式乘法，从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如：$x^2+47x+396$
首先，先要找和為47、積為396的兩個數，396為36、11之積，$36+11=47$
所以$x^2+47x+396=x^2+(36+11)x+(36*11)=(x+36)(x+11)$

• $x^2+31x-180$
  

常數項小於0，首先，先要找和為31、積為—180的兩個數，一正一負，—180為—5、36之積， 36＋(－5)＝36－５＝31
所以$x^2+31x-180=x^2+(36-5)x+((-5)*36)=(x+36)(x-5)$

方程式求解

若設一個多項式$f(x)=0$，則使此式成立的所有$x$我們稱之為此多項式的解，而求出此$x$的過程稱之為求解，以下為各種求解的方法和一些定理的介紹：

代數基本定理

每個複係數的多項式至少有一個複數解

一元二次方程式

任意的一元二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$，它的解都可用以下公式來表示： $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Template:ExampleRobox即求$4x^2+7x-2=0$的所有解。

代入$a=4,b=7,c=-2$到求根公式，得到：

$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4(4)(-2)}}{2(4)}=\frac{-7\pm \sqrt{49+32}}{8}=\frac{-7\pm \sqrt{81}}{8}=\frac{-7\pm 9}{8}$

$x=\frac{2}{8},x=\frac{-16}{8}$

$x=\frac{1}{4},x=-2$

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

Template:ExampleRobox從上例中我們得到多項式的根為$x=\frac{1}{4}$ and $x=-2$，於是多項式可分解成：
$4x^2+7x-2=C(x+2)(x-\frac{1}{4})=C(x^2+\frac{7}{4}x-\frac{1}{2})$
可見 $C=4$時等式成立，於是多項式可因式分解為：
$4x^2+7x-2=4(x+2)(x-\frac{1}{4})=(x+2)(4x-1)$ Template:Robox/Close

可是當$4ac>b^2$時方程根不是實數，不可以因式分解。

配方法

由乘法公式$(m+n{)}^2=m^2+2mn+n^2$，可以對任意一元二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：

1. $a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

1. $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\Rightarrow x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+\frac{c}{a}=0$

1. $x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+\frac{c}{a}=0\Rightarrow x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

1. $x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\Rightarrow x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

1. $x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}\Rightarrow (x+\frac{b}{2a}{)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

1. $(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

根與係數的關係

設一元二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$的解為w和z，則有以下關係式：

• $w+z=-\frac{b}{a}$
• $wz=\frac{c}{a}$

這兩個公式由設w和z為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出