Maple/微分

Maple 微分

• Maple 的f 对x 的微分用 f' 或 diff(y,x) 表示。

Maple 的微分运算，可以方便地求出复杂的函数的微分。

• Diff算子，只显示书写形式，不作计算：

Diff(q,x,y,z);

$\frac{{\partial }^3}{\partial x\partial y\partial z}q$

• 也可以用

diff(x(t),t$5) 表示$\frac{d^{5}x(t)}{d{t}^5}$

常微分

diff(5x^18,x);

$90*x^{1}7$

diff(ax,x);

$0$

diff(ax,ax)

$1$

diff(a*x^2,x);

$2a*x$

h := (sin(2*x-1)^2)^(3/2);

diff(h,x);

$6*\sqrt{(}sin(2*x-1{)}^2)*sin(2*x-1)*cos(2*x-1)$

y :=$\sqrt{(}sin(\sqrt{(}x)))$;

$y^{\prime }=(1/4)*cos(\sqrt{(}x))/(\sqrt{(}sin(\sqrt{(}x)))*\sqrt{(}x))$

y :=$\sqrt{(}sin(\sqrt{(}x){)}^2/(1+cos(x)))$

$y^{\prime }=(1/2)*(sin(\sqrt{(}x))*cos(\sqrt{(}x))/((1+cos(x))*\sqrt{(}x))+sin(\sqrt{(}x){)}^2*sin(x)/(1+cos(x){)}^2)/\sqrt{(}sin(\sqrt{(}x){)}^2/(1+cos(x)))$

偏微分

$f:=x^5*y^6*z^7$ $diff(f,x)=5*x^4*y^6*z^7$ $diff(f,y)=6*x^5*y^5*z^7$ $diff(f,z)=7*x^5*y^6*z^6$ $diff(f,x,y,z)=210*x^4*y^5*z^6$ $q:=cos(x^2)$*$exp(\sqrt{(}y))$*$ln(tan(z))$ $diff(q,x,y,z)=-sin(x^2)*x$$exp(\sqrt{(}y))$*$(1+tan(z{)}^2)/$$\sqrt{(}y)$*$tan(z))$

微分的应用

费马原理：光程为极值（最小，最大，拐点）

光在平面的反射

光在平面上的反射

平面反射的光程

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 =$d1=\sqrt{x^2+a^2}$

Q 点 到 x 点的距离=$d2=\sqrt{b^2+(l-x{)}^2}$

從點P到點Q的光程 D 為

$D=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{b^2+(l-x{)}^2}$ 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是极值，即 $D$ 對 $x$ 的導數為零： 利用Maple,可以方便地求出D对x的微分：

$D^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$$+\frac{-l+x}{\sqrt{b^2+(l-x{)}^2}}=0$ 。

其中

$\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin {\theta }_1$

$\frac{-l+x}{\sqrt{b^2+(l-x{)}^2}}=-\sin {\theta }_2$ 。

即

$\sin {\theta }_1-\sin {\theta }_2=0$

${\theta }_1={\theta }_2$

这就是反射定律

设l =30

图示反射光程随 X 的变化，当x= 15 时，显然光程最短。

光的球面反射

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點P。

R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程$D=\sqrt{y^2+(R+x{)}^2}+\sqrt{y^2+(-x+R{)}^2}$

因$y^2=R^2-x^2$;

所以

$D=\sqrt{2*R^2+2*x*R}+\sqrt{-2*x*R+2*R^2}$

根据费马原理， D'=0

利用Maple,可以方便地求出D对X的微分：

$D^{\prime }=\frac{R}{\sqrt{2*R^2+2*x*R}}-\frac{R}{\sqrt{-2*x*R+2*R^2}}=0$

解之，

solve(D'，x);

得 $x=0$

光程$D=2\sqrt{2}R$，乃是一个最大值=2.8R；最小值光程是从直径一端到另一端，光程=2R