逆散射變換

逆散射變換是為解決一些非線性偏微分方程的方法。該方法類似於一種非線性版本的傅立葉變換。

逆散射變換可應用於許多所謂的完全可解模型。包括Korteweg–de Vries方程，非線性薛定諤方程，耦合非線性薛定諤方程，Sine-Gordon方程，Kadomtsev-Petviashvili方程，Toda晶格方程，Ishimori方程，Dym方程等。

逆散射問題可寫成Riemann–Hilbert factorization問題。如此可以推廣到微分算子階數大於2，以及周期性位勢。

方程式的解

第一步. 寫下非線性偏微分方程$u_t=f(u,u_x,\dots )$。這通常是來自物理學的研究。

第二步. 準備好隨時間演化的散射系統，其中 Lax pair 包含兩個線性算子，$L$ 和 $M$，使得 $Lv=\lambda v$ 並且 $v_t=Mv$, 這邊下標 t 表示對時間的偏微分。這邊很重要的參數--特徵值$\lambda$是與時間無關的常數，也就是${\lambda }_t=0$。這件事情的充分必要條件如下：對$Lv=\lambda v$取時間微分

$L_{t}v+L{v}_t={\lambda }_{t}v+\lambda v_t.$

將 $v_t$ 代換成 $Mv$

$L_{t}v+LMv={\lambda }_{t}v+\lambda Mv.$

再改寫最右邊項

$L_{t}v+LMv={\lambda }_{t}v+MLv.$

因此，對$v=0$,${\lambda }_t=0$ 若且唯若

$L_t+LM-ML=0.$

這就是 Lax 方程式。最簡單的選取$L$是Schrödinger算子：

$L=\frac{d^2}{d{x}^2}+u,$

比較 $L_{t}v+L{v}_t$ 和 $\frac{\partial }{\partial t}(\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+uv)$ 之後我們得出 $\frac{\partial L}{\partial t}=u_t$。 在適當的選取 Lax pair後，Lax 方程式會是原來的非線性偏微分方程$u_t=f(u,u_x,\dots )$。

第三步. 在無窮遠處描述本徵函數(eigenfunctions)的時間演化和相對應的每個特徵值$\lambda$，耗散波函數的係數，反射係數，這三個組成所謂的散射數據。這系統的時間演化是可解的線性常微分方程。

第四步. 解 Gelfand–Levitan–Marchenko 積分方程，這個線性積分方程可以獲得原來的非線性偏微分方程的解。為了做到這一點，需要在所有的散射數據。

範例: Korteweg–de Vries 方程

Korteweg–de Vries 方程是一個非線性函數u的偏微分方程;包含兩個實數的變量，空間變量x 和時間變量t：

$\frac{\partial u}{\partial t}-6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}=0,$

解這個方程式的初值問題 $u(x,0)$是一個 Schrödinger 方成的特徵值問題

$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-u(x,t)v=\lambda v$

這裡 $v$ 是包和變數 t 和 x 的未知函數，u 是 Korteweg–de Vries 方程式的解除了$u(x,t=0)$已知外，其他$u(x,t\ne 0)$未知。 從薛定諤方程，我們得到

$u=\frac{1}{v}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-\lambda$

也就是說

$L=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}-u$

$M=-4\underset{x}{\overset{3}{\partial }}+6u{\partial }_x+3u_x$

把 $u=\frac{1}{v}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-\lambda$ 帶到 $Mv=v_t$ 會變成只有 $v$ 的微分方程式，解出 $v$ 的散射數據。

• -{R|http://web.archive.org/20090423234052/www.math.ucla.edu/~rrtakei/gradProj/poster_apma935.pdf}-