高中数学（版聊式）/第1节：为什么会有导数和积分？

问什么要有导数和积分？

数学已经很完备了，可是为什么还要有导数和积分呢？大家可以来看下面的内容。

速度、切线

速度

在物理中，我们知道：当一个物体做直线运动时，物体在直线上的位置完全由某个函数$s=f(t)$确定。

先考虑最简单的情况，物体做匀速直线运动。此时，$s=vt$，即$v=\frac{s}{t}$。并且对于不同的$t$，$v$的值都是一样的。$v$可以表示任意时刻的瞬时速度。

那么对于非匀速运动的物体呢？怎么理解在$s=f(t)$情况下$t_0$时刻的瞬时速度呢？

首先我们取时间从$t_0$到$t_1$这样一个时间段。那么物体在这一时间段内，有平均速度

$v=\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}$

如果我们将$t_1$取得非常靠近$t_0$（比如$t_1-t_0=10^{-100}s$）,那么我们可以认为物体在如此短的一个时间内做匀速运动。更为精确的说，令$t_1\to t_0$（“→”是趋向的意思。表示左边的量非常非常接近右边的量，几乎等于）,那么$t_0$时刻的瞬时速度就是

$v=\underset{t_1\to t_0}{\lim }\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}$

其中，$\underset{t_1\to t_0}{\lim }$叫做极限符号，表示的是当$t_1\to t_0$的时候。

切线

圆（椭圆亦可）的切线可以定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但对于其他函数，如$y=\cos x$，显然在$x=0$时的切线为直线$y=1$，而它与函数有无数个交点。

通过$y=\cos x$和上文速度的例子，我们或许可以吸收一些经验。是不是在一个比较小的范围（一个区间包含切点）内使得这条直线与曲线只有一个交点才是切线呢？（此处存在错误。例如函数$f(x)=x^2(\sin \left(\frac{1}{x^2}\right)+1)$在$x=0$处的切线为$y=0$，而显然在任意包含$x=0$的开区间上，$y=f(x)$与$y=0$均有无穷多个交点。望编写者修正。）

我们仍旧通过简单的例子来验证。首先圆和椭圆都是满足的。图1也是符合这个定义的。图2也是满足的（注意这一点的切线是存在的）。

File:屏幕快照 2013-06-10 下午5.52.07.png

图1

因此，我们给出如下定义：设有曲线$C$和$C$上两点$M,N$。做割线$MN$。当点$N$随着曲线$C$趋向于点$M$时，若割线$MN$趋向一个位置$MT$，则$MT$为曲线$C$在$T$处的切线。

那么切线的倾斜角的正切，即斜率

$k=tan\alpha =\underset{x_1\to x_0}{\lim }\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$