高中数学（版聊式）/第1节 排列与组合

排列与组合

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本讲的主题是研究从n个不尽相同的元素中,任取m个元素,有序或无序排放的方法.

注：本文中排列数的表示为P(permutation)与全国教材稍有不同.

阅读之前，您需要了解：

1. 加法原理：完成一件事有n类办法,第一类办法有m₁种方法,第二类办法有m₂种方法,...,第n类办法有m_n种方法,那么完成这件事共有m₁+m₂+...+m_n种方法.
   
2. 乘法原理：完成一件事有n个步骤,第一个步骤有m₁种方法,第二个步骤有m₂种方法,...,第n个步骤有m_n种方法,那么完成这件事共有m₁*m₂*...*m_n种方法.
   
3. 排列数：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,有序排成一列的方法个数.
   
4. 排列数公式：P_n^m=n!/(n-m)!
   
5. 组合数：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的方法个数.
   
6. 组合数公式：C_n^m=n!/[m!(n-m)!]
   
7. 二项式定理：两数之和整数次幂的展开形式，也可以推广到任意实数次幂.
8. 常用性質
   1. 若$n,k\in Z^{+}$，則

      $C_n^k=C_n^{n-k}$

      $C_{n+1}^k=C_n^{k-1}+C_n^k$

      $C_n^k=\frac{n}{k}{C}_{n-1}^{k-1}$

      $C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$

      $C_n^0-C_n^1+C_n^2-...+(-1{)}^n{C}_n^n=0$

   2. 對$n,k\in Z^{+},a\in R,a\ne 0$

      $C_a^n=\frac{\prod _{k=1}^n(a-k+1)}{n!}$

9. 定理：
   1. 二項式定理：若$n\in Z^{+}$，則$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^{n-k}{y}^k$
   2. 廣義二項式定理：若$a\ne 0,x\in (-1,1)$，則

      $(1+x{)}^a=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_a^k{x}^k$

      推論1 $a\in Z^{-}$時

      $(1+x{)}^a=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{-a-1+k}^{-a-1}(-x{)}^k$

      $(1-x{)}^a=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{-a-1+k}^{-a-1}{x}^k$

      推論2 $a=-1$時

      $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...$，

      $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$