國中數學/一元二次方程式

一元二次方程式是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式，基本的公式為 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。

其中， $a x^{2}$ 是二次項， $b x$ 是一次項， $c$ 是常數項。 $a \neq 0$ 是一個重要條件，否則該式的最高次數就不會是二次^{[註 1]}。當然，一元二次方程式的解有時會出現「無實根」^{[註 2]}的情況。

解方程式

使用因式分解來解一元二次方程式的重要關鍵是：若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0 。

沒有常數項：
1. $x^{2} + 7 x = 0$
2. $\Rightarrow x (x + 7) = 0$ (提出公因式)
3. $\Rightarrow x = 0, x + 7 = 0$ (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
4. $\Rightarrow x = 0, - 7$
沒有一次項：
1. $x^{2} + 11 = 36$
2. $\Rightarrow x^{2} = 36 - 11$ (移常數項)
3. $\Rightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{36 - 11}$ (兩邊各開根號)
4. $\Rightarrow x = 5, - 5$ ^{[註 3]}
完整式：
1. $x^{2} - 46 x + 480 = 0$
2. $\Rightarrow (x - 16) (x - 30) = 0$ (使用十字交乘法)
3. $\Rightarrow x - 16 = 0, x - 30 = 0$ (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
4. $\Rightarrow x = 16, 30$
完整式 (完全平方式)：
1. $x^{2} - 10 x + 36 = 11$
2. $x^{2} - 10 x + 36 - 11 = 0$
3. $\Rightarrow (x - 5)^{2} = 0$
4. $\Rightarrow x = 5, 5$ ^{[註 4]}

配完全平方式，簡稱配方法，是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像這樣的式子，其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方，如一次項係數是4，那就是要兩邊同加上 $(4 \div 2)^{2}$ 才能配方。

把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c，並代入 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 以求解。

從以上一元二次方程的判別式 $b^{2} - 4 a c = 36 - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{11}{2}) = 36 - 11 = 25$ ，我們可以輕鬆解得x=11, 1。

從以上一元二次方程的判別式 $b^{2} - 4 a c = 36 - 4 (0.5) (55.5) = 36 - 111 = - 75$ ，我們可以發現 $36 - 111 = - 75$ 小於0，我們可以說本題無實根。