代數/本書課文/求和/多項式公比求和

多项式公比求和，多项式$p(k)$乘上等比数列$q^{k-1}$的求和，即$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$

公比q等于1时就只是多项式求和。

特殊情况

当$p(k)=1$时，是等比数列求和：$\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$

当多项式$p(k)$为等差数列时，即一次多项式时，是差比数列求和：$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$

求和方法

错位相减法

设$S_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$，乘上公比得到$q{S}_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k$

$(1-q)S_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k$

每一次错位相减会对多项式进行一次差分，一个m阶多项式进行差分后是m-1阶多项式，所以可以在有限步内用错位相减法求出多项式公比求和。

逐项求导

Template:Wikibooks 设$S(n,m)=\sum _{k=1}^n{k}^m{q}^{k-1},S(n,0)=\frac{q^n-1}{q-1}$

两边对q求导：$\frac{d[qS(n,m)]}{dq}=\sum _{k=1}^n{k}^{m+1}{q}^{k-1}=S(n,m+1)$

由此可以递推出m阶多项式的多项式公比求和。

裂项法

Template:Wikibooks 对数列做裂项：$p(k)q^{k-1}=f(k)q^k-f(k-1)q^{k-1}$

其中若$p(k)$是m阶多项式，则$f(k)$是m阶多项式，$f(k)$用待定系数法求出来。

差分算子公式

$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1{)}^2}\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^k{q}^{k-1}}{(q-1{)}^{k-1}}{\mathrm{\Delta }}^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum _{k=0}^m(\frac{-q}{q-1}{)}^k{\mathrm{\Delta }}^{k}p(n+1)$

其中$\mathrm{\Delta }p(n)=p(n+1)-p(n),m=deg(p(k))$

无穷级数

级数$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^{k-1}$在$|q|<1$时是收敛的。

多重对数函数

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}.$

所以这个级数可以表达成多重对数函数：$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^m{z}^k={\mathrm{Li}}_{-m}(z)$

等比级数

Template:Main $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$

两边逐项求导，得到：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2},|x|<1.$

求m次导，得到：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^m{x}^{n-m}=\frac{m!}{(1-x{)}^{m+1}},|x|<1.$