高中数学（版聊式）/第一单元：集合与函数/1.集合/第1节 集合的基本概念

集合的概念

　　在小学和初中的学习中，我们已经接触过一些集合，比如，自然数的集合、有理数的集合、实数的集合、不等式$x-1<0$的解集，等等。 　　

一般地，我们把研究对象统称为元素（element）。 　　

定义1　一些确定并且各不相同的元素的整体就是集合（set）。

例如，以所有的自然数$0,1,2,...$作为元素，它们构成的整体就是自然数的集合（简称自然数集）；以所有实数作为元素，它们构成的整体就是实数的集合（简称实数集）。

从定义还可以看出，能构成集合的元素必须同时满足以下两个条件：

（1）所有元素必须都是确定的。如以很大的自然数为元素，则不能构成集合，因为这些元素不是确定的；如以大于10的自然数为元素，则可以构成集合。

（2）所有元素各不相同。

集合与元素的表示方法：数学中通常用大写字母$A,B,C,...$表示集合，小写字母$a,b,c,...$表示元素。 　　

定义2： 如果a是集合A中的元素，则a属于A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，则b不属于A，记作b∉A。

　　例如，用$N$表示自然数集，则有$0\in N,1\in N,...$总之，对于一切整数$n⩾0$，都有$n\in N$。另一方面，对于整数$m<0$，都有$m\notin N$。

定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同，则集合A与集合B相等，记作$A=B$。

对于集合的表示方法，除了像“所有自然数构成自然数集”这样的自然语言以外，数学上常用以下两种方法表示集合： 　　

（1）列举法。

将集合中的所有元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法。当元素数量可数并较少时可以采用这个方法。用列举法表示集合，先将元素一一列出，以逗号“，”分隔开，再用花括号“{}”括起来。

例如方程$(x-1)(x-2)=0$的实数根组成的集合可以表示为$\{1,2\}$。用大写字母$A$表示这个集合，则有$A=\{1,2\}$。 　　

（2）描述法。

用集合中的所有元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。当元素数量不可数或较大时采用。用描述法表示集合时，在花括号内先写出表示这个集合的元素的符号以及一般取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这些元素的共同特征。

例如不等式$X-1<0$的在实数范围内的解集为$\{x$为实数$|x<1\}$，所有奇数组成的集合为$\{n$为整数$|n=2k+1,k$为整数$\}$。 　　

以下列举一些数学中常用的集合及其符号：

• $N$为所有自然数组成的集合，$N=\{n$为整数$|n\ge 0\}$；

• $N+$为所有正整数组成的集合，$N+=\{n$为整数$|n\ge 1\}$；
• $Z$为所有整数组成的集合；
• $Q$为所有有理数组成的集合，$Q=\{p/q|p,q$都为整数，且$p,q$互质$\}$；
• $R$为所有实数组成的集合。

有了这些符号，诸如$n$为整数”、“$x$为实数”都可以记作“$n\in N$”，“$x\in R$”了，例如$\{x$为实数$|x<1=\{x\in R|x<1\}$，$\{n$为整数$|n=2k+1,k$为整数$\}=\{n\in Z|n=2k+1,k\in Z\}$。

还需要指出，如果从上下文的关系看，$x\in R$、$n\in Z$是明确的，那么$x\in R$、$n\in Z$可以省略写为$x$、$n$，例如$\{x\in R|x<1\}=\{x|x<1\}$，$\{n\in Z|n=2k+1,k\in Z\}=\{n|n=2k+1,k\in Z\}$。

习题3－1－1

1、以下哪些语句描述的是正确的集合？

（1）接近0的数组成的集合；

（2）大于$M$的实数组成的集合； 　

（3）$\{1,1,2,2,3,3\}$。

2、以下哪组集合是相等的？

（1）$\{1,2,3,...,n\}$与$N$； 　

（2）$\{x|x\in N+$且$x<31\}$与六月份所有日期对应的号码组成的集合； 　

（3）$\{y|y=2x+1\}$与$\{y|y=2x+1,x\in Z\}$

3、设集合$A$表示不等式$x^2-1<0$在整数范围内的解集

（1）求集合$A$并说明集合$A$能否分别用列举法和描述法表示； 　

（2）写出两个属于集合$A$的数，再写出两个不属于集合$A$的数。