微积分学/导数的概念

定义

一般定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\mathrm{\Delta }x$（点$x_0+\mathrm{\Delta }x$仍在该邻域内）时，相应地函数$y$取得增量$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$；如果$\mathrm{\Delta }$$y$与$\mathrm{\Delta }$$x$之比当$\mathrm{\Delta }$$x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f^{\prime }(x_0)$，即

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$，

也可记作${y^{\prime }|}_{x=x_0}$，${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$ 或 ${\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$

若将一点扩展成函数$f(x)$在其定义域包含的某开区间$I$内每一个点，那么函数$f(x)$在开区间$I$内可导，这时对于$I$内每一个确定的$x$值，都对应着$f(x)$的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数$f(x)$的导函数，记作：$y^{\prime }$、$f^{\prime }(x)$或者$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$

导函数的定义表达式为：

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

值得注意的是，导数是一个数，是指函数$f(x)$在点$x_0$处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

几何意义

如右图所示，设$P_0$为曲线上的一个定点，$P$为曲线上的一个动点。当$P$沿曲线逐渐趋向于点$P_0$时，并且割线$P{P}_0$的极限位置$P_{0}T$存在，则称$P_{0}T$为曲线在$P_0$处的切线。

若曲线为一函数$y=f(x)$的图像，那么割线$P{P}_0$的斜率为：

$\tan \phi =\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

当$P_0$处的切线$P_{0}T$，即$P{P}_0$的极限位置存在时，此时$\mathrm{\Delta }x\to 0$，$\phi \to \alpha$，则$P_{0}T$的斜率$\tan \alpha$为：

$\tan \alpha =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\tan \phi =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则$f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$，故导数的几何意义即曲线$y=f(x)$在点$P_0(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

上式中，后两个式子可以定义为函数在$x_0$处的左右导数：

左导数：$f{\text{'}}_{-}(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

右导数：$f{\text{'}}_{+}(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

用两个函数的例子来说明函数可导的条件。

sgn函数，符号函数

1.上面这个符号函数在$x=0$处可导吗？

解答

• 求出导数在$x=0$处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在$x=0$处的左导数为：$f{\text{'}}_{-}(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }-\frac{1}{x}$

这个极限发散，不存在，故这个符号函数在$x=0$处不可导。

绝对值函数

2.上面这个绝对值函数在$x=0$处可导吗？

解答

• 求出导数在$x=0$处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在$x=0$处的左导数为：$f{\text{'}}_{-}(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x-0}{x-0}=-1$

该函数在$x=0$处的右导数为：$f{\text{'}}_{+}(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x-0}{x-0}=1$

该函数在$x=0$处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故这个绝对值函数在$x=0$处不可导。

• 注意：上面所用的定义式为推导定义式。

以上两个函数都是在定义域内连续的函数，由此就可以得出一个结论：连续的函数不一定处处可导。

但处处可导的函数一定处处连续。

证明如下

• 证明：设函数$f(x)$上一点$x_0$，函数在这一点可导，即$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$存在，其中

$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$

所以：$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \mathrm{\Delta }x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }x=0$

即函数$f(x)$在$x_0$处连续。

导数的求导法则

在解决函数的导数问题上，利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则，以利于更好地解决各类求导的问题。

四则运算的求导法则

求导法则
1	$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$
2	$[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$
3	$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$

特别地，对于常数$C$：

4	$[Cv(x){]}^{\prime }=C{v}^{\prime }(x)$
5	$\left[\frac{C}{v(x)}\right]=\frac{-C{v}^{\prime }(x)}{v^2(x)}$

以上法则的证明中，对于1，可以利用极限的运算法则验证；对于2，可以直接使用导数定义证明，证明如下：

• 证明$[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

证明如下

• • 证：$[u(x)v(x){]}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)v(x)}{\mathrm{\Delta }x}$（导数的定义式）

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot \frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}]$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

或

$=v(x)\frac{du(x)}{dx}+u(x)\frac{dv(x)}{dx}$

复合函数求导

求导法则
1	$\{u[v(x)]{\}}^{\prime }=u^{\prime }[v(x)]v^{\prime }(x)$

反函数的求导

设函数$y=f(x)$在$x$的某个邻域内连续，严格单调，且在$x$可导而且$f^{\prime }(x)\ne 0$成立。则它的反函数$x=f^{-1}(y)$在$y$可导，且有：

$[f^{-1}(y){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$或者$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

我们可以用一个例子来说明：试求函数$y=\arcsin x(|x|<1)$的导函数。

解：

$y=\arcsin x(|x|<1)$是$x=\sin y(\left|y\right|<\frac{\pi }{2})$的反函数，且$x=\sin y$在$I_y=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$开区间上严格单调、可导，且$(\sin y{)}^{\prime }=\cos y>0$因此由反函数求导法则可得：在对应区间$I_y=(-1,1)$内有：

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

参数方程和极坐标方程的求导

对于参数方程： $\{\begin{array}{c}x=\psi (t)\\ y=\varphi (t)\end{array}(\alpha \le t\le \beta )$ ,其中$\varphi (t)$和$\psi (t)$可导，且$x=\psi (t)$严格单调(?)，${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$，根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}$

对于极坐标方程$\{\begin{array}{c}x=\rho (\theta )\cos \theta \\ y=\rho (\theta )\sin \theta \end{array}$，根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为：

$\frac{dy}{dx}=\frac{[\rho (\theta )\sin \theta ]}{[\rho (\theta )\cos \theta ]}=\frac{{\rho }_{\theta }^{\text{'}}\sin \theta +\rho \cos \theta }{{\rho }_{\theta }^{\text{'}}\cos \theta -\rho \sin \theta }$

隐函数的求导

• 有关隐函数的定义，参见隐函数。

隐函数的求导方法的基本思想是要把方程$F(x,y)=0$中的看作$x$的函数$y(x)$，方程两端对$x$求导，然后再解出隐函数的导数$\frac{dy}{dx}$。

给出一个例子来进一步说明：

试求由方程$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$所确定的$y$关于$x$的隐函数的导数$\frac{dy}{dx}$，其中$(x,y>0)$。

解：

方程的两边同时对$x$求导得：

$\frac{d(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{dx}=\frac{d\sqrt{a}}{dx}$

$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{y}^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{dy}{dx}=0$

$\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}}(x,y>0)$

• 通过例题，应当注意方程两边求导的对象是$x$，而$y$是用$x$表示的，相当于一个$x$的复合函数，故根据复合函数的求导法则：$[f(y){]}^{\prime }=f^{\prime }(y)\cdot y_x^{\text{'}}$。本题中$f(y)=\sqrt{y},f^{\prime }(y)=\frac{1}{2}{y}^{-\frac{1}{2}},y_x^{\text{'}}=\frac{dy}{dx}$

高阶导数

参数方程的高阶求导

对于参数方程： $\{\begin{array}{c}x=\psi (t)\\ y=\varphi (t)\end{array}$，其中$\varphi (t)$和$\psi (t)$二阶可导，且${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$，则由$\frac{dy}{dx}=\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}$，有

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ $=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)$

$=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}\right)$

$=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

$=\frac{{\varphi }^{″}(t){\psi }^{\prime }(t)-{\varphi }^{\prime }(t){\psi }^{″}(t)}{{[{\psi }^{\prime }(t)]}^2}\cdot \frac{1}{{\psi }^{\prime }(t)}$

基本函数的导数

基本导数公式
1	$C^{\prime }=0$
2	$(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$
3	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
4	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
5	$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$
6	$(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$
7	$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$
8	$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
9	$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
10	$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
11	$(e^x{)}^{\prime }=e^x$
12	$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$其中$a>0,a\ne 1$
13	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
16	$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

导数的应用

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。例如，在物理学中，速度被定义为位置函数的导数，即：$v(t)=\frac{ds}{dt}$；而加速度被定义为速度函数的导数，即：$a(t)=\frac{dv}{dt}$。另外，导数还可以表示曲线在一点的斜率，以及经济学中的边际和弹性。

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