微积分学/常微分方程

常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

其实，在之前的学习过程中，你已经研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说

$\int f(x)\mathrm{d}x=g(x)$

其中$g(x)$为函数，你实际上是在解微分方程

$g^{\prime }(x)=f(x)$

符号和术语

使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。

本文将主要使用以下四个符号来表示$f$的导数：

• $\mathrm{D}y$
• $f^{\prime }$
• $\mathrm{d}f$
• $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$（用于可分离变量方程）

术语

考虑如下微分方程

$3f^{\prime \prime }(x)+5xf(x)=11$

方程中导数最高为2阶，因此我们说该方程为二阶微分方程。

一些简单的微分方程

求解微分方程的一个关键思想是积分。

我们来考虑下面这个二阶微分方程

$f^{″}(x)=2$

我们怎么解决这个问题呢？方程告诉我们，求两次导以后，得到常数2，所以，如果我们积分两次，应该就能算出答案。

积分一次：

$\int f^{″}(x)dx=\int 2dx$

$f^{\prime }(x)=2x+C_1$

我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程，即

$f^{\prime }(x)=2x+C_1$

这个等式告诉我们，把函数求一次导，可以得到$2x+C_1$。我们再积分一次，就能算出答案了。

$\int f^{\prime }(x)dx=\int 2x+C_{1}dx$

$f(x)=x^2+C_{1}x+C_2$

这就是微分方程的解。对任意$C_1$和 $C_2$，都有$f^{″}=2$。

$C_1$和$C_2$与初始条件的值有关。如果待解方程给定了初始条件，我们可以在积分之后替换进去。

例题

求解 $f^{″}(x)=2$，初始条件为$f^{\prime }(0)=3$，$f(0)=2$。

解答过程会比上面多这么几步：

$f^{\prime }(0)=2(0)+C_1$

$3=C_1$

$\int f^{\prime }(x)dx=\int 2x+3dx$

$f(x)=x^2+3x+C_2$

$f(0)=0^2+3(0)+C_2$

$2=C_2$

$f(x)=x^2+3x+2$

如果没有初始条件，我们算出的答案就叫通解；如果有初始条件，就叫特解。

基本一阶微分方程

在本节中，我们将研究四种微分方程：

• 可分离变量方程
• 齐次方程
• 线性方程
• 全微分方程

此外，还有许多其他形式的微分方程，将在下一节中讨论。

可分离变量方程

可分离变量方程基本形式为（这里使用$\frac{dy}{dx}$更方便）

$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}$

之前我们只处理过$g(y)=1$的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢？

我们把变量$x$和$dx$、$y$和$dy$放到一起

$g(y)dy=f(x)dx$

两边分别对$y$和$x$积分

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+C$

便能得到解答。

例题

求解

$\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$

分离变量

$\frac{dy}{y}=(3x^2)dx$

两边积分

$\int \frac{dy}{y}=\int 3x^{2}dx$

$\ln y=x^3+C$

$y=e^{x^3+C}$

令$k=e^C$，其中$k$为常数，得到

$y=k{e}^{x^3}$

这便是上述方程的通解。

验算

这一步不是必要的，但是可以用来验证答案的正确性。

我们算出来的答案是

$y=k{e}^{x^3}$

题目是

$\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$

把答案对$x$微分，得

$\frac{dy}{dx}=3k{x}^2{e}^{x^3}$

由于$y=k{e}^{x^3}$，所以

$\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$

我们得到了题给的微分方程，因此我们的答案是正确的。

齐次方程

齐次方程形式为

$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

这看起来很困难，但我们可以令$v=\frac{y}{x}$，得到

$\frac{dy}{dx}=f(v)$

现在只需处理$f(v)$而非$f(\frac{y}{x})$了。

再用$v$来表示$y$，即$y=vx$，

$\frac{dy}{dx}=\frac{dvx}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$

于是

$v+x\frac{dv}{dx}=f(v)$

$x\frac{dv}{dx}=f(v)-v$

$\frac{dv}{dx}=\frac{f(v)-v}{x}$

就变成了可分离变量方程。

例题

求解

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+x^2}{yx}$

我们把式子写成这样

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{yx}+\frac{x^2}{yx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

令$v=\frac{y}{x}$，得到

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{v}+v$

再用$v$来表示$y$

$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}+v$

两边消去$v$，化简

$x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}$

分离变量

$vdv=\frac{dx}{x}$

两边积分

$\frac{1}{2}{v}^2+C=\ln (x)$

$\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\ln (x)-C$

$y^2=2x^2\ln (x)-2C{x}^2$

$y=x\sqrt{2\ln (x)-2C}$

这便是上述方程的通解。

线性方程

一阶线性微分方程形式为

$a(x)\frac{dy}{dx}+b(x)y=c(x)$

注意到方程两边同时乘或除$x$的任意非零函数，都不会对解产生影响。

乍一看，等式左边不能直接积分。但是，有一个特殊情况。如果$b$是$a$的导数，我们就可以这么办

$a(x)\frac{dy}{dx}+b(x)y=a(x)\frac{dy}{dx}+y\frac{da}{dx}=\frac{d}{dx}a(x)y$

现在，积分就很简单了。

我们把原方程两边同时乘以任意一个函数$I(x)$，得到

$aI\frac{dy}{dx}+bIy=cI$

我们假设如下条件：

$\frac{d}{dx}aI=bI$

如果这个条件满足，就可以用上面说的那种办法了。

这个条件其实等价于

$\frac{1}{I}\frac{dI}{dx}=\frac{b-\frac{da}{dx}}{a}$

积分，得

$\ln I(x)=\int \frac{b(z)}{a(z)}dz-\ln a(x)+c$

$I(x)=\frac{k}{a(x)}{e}^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}$

把常数$k$设为1，不会对结果产生影响。

代入原方程，得

$e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{dy}{dx}+e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{b(x)}{a(x)}y=e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{c(x)}{a(x)}$

化简，得

$\frac{d}{dx}(y{e}^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz})=e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{c(x)}{a(x)}$

两边积分并除以$e^I$ 得

$y=e^{-\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}(\int e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{c(x)}{a(x)}dx+C)$

我们称$I$为积分因子。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。

例题

求解

$\frac{dy}{dx}+y\tan x=1$，初始条件为$y(0)=0$

首先算出积分因子$I$

$I=e^{\int \tan xdx}=e^{\ln \sec x}=\sec x$

方程两边同时乘$I$，得

$\sec x\frac{dy}{dx}+y\sec x\tan x=\sec x$

或

$\frac{d}{dx}y\sec x=\sec x$

积分，得

$y=\cos x\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sec zdz=\cos x\ln (\sec x+\tan x)$

全微分方程

全微分方程形式为

$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$

且有性质

$D_{x}f=D_{y}g$（即$f$对$x$的导数等于$g$对$y$的导数）

（如果微分方程没有这个性质，那么我们就不能再继续解下去了。）

因此，如果我们有一个全微分方程，那么就存在一个函数$h(x,y)$使得

$D_{y}h=f$，且$D_{x}h=g$

于是解的形式为

$h(x,y)=c$

便可通过积分找到$h(x,y)$。

基本二阶和高阶常微分方程

$n$阶常微分方程的通解会含有$n$个积分常量。要把它们都计算出来，我们还需要$n$个方程。大多数情况下，题目会给定

边缘条件，即$x$取两个不同的值时$y$及其导数的值

或者

初始条件，即$x$取某一值时$y$及其前$n-1$阶导数的值。

可降阶常微分方程

一、如果自变量$x$不出现在微分方程中，那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

$F(y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2})=0$

令

$u=\frac{dy}{dx}$

则

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot u$

将这两个表达式代入原方程，我们得到

$F(y,u,\frac{du}{dy}\cdot u)$=0

这便是一个一阶微分方程。

例题

求解

$1+2y^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0$

其中当$x=0$时，$y=y^{\prime }=1$。

首先，我们进行代换，得到

$1+2y^{2}u\frac{du}{dy}=0$

这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量，得

$udu=-\frac{dy}{2y^2}$

两边积分，得

$\frac{u^2}{2}=c+\frac{y}{2}$

我们知道了当$x=0$时$y$和$u$的值，所以我们可以求出$c$

$c=\frac{u^2}{2}-\frac{y}{2}=\frac{1^2}{2}-\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

接下来

${\frac{dy}{dx}}^2=u^2=\frac{1}{y}$

然后开平方根

$\frac{dy}{dx}=\pm \frac{1}{\sqrt{y}}$

要找到根号外面是取正号还是取负号，我们可以再用一遍初始条件，便可以把符号排除，得到

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{y}}$

其解为

$\frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}=x+d$

因为当$x=0$时$y=1$，所以$d=\frac{2}{3}$，于是

$y={(1+\frac{3x}{2})}^{\frac{2}{3}}$

二、如果因变量$y$不出现在微分方程中，那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

$F(x,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2})=0$

令

$u=\frac{dy}{dx}$

则

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{du}{dx}$

将这两个表达式代入原方程，我们得到

$F(x,u,\frac{du}{dx})$=0

这便是一个一阶微分方程。

线性常微分方程

称形如

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...+a_{n}y=F(x)$

的常微分方程为线性。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况，但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。

若对任意$x$，$F(x)=0$，则称该常微分方程齐次。

一般的线性方程有这么两个有用的性质：

1. 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解；
2. 如果已知一个非齐次线性方程的解，我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解，就会得到该非齐次线性方程的另一个解。

常数变易法

假设我们有一个线性常微分方程

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...+a_n(x)y=0$

并且我们知道它的一个解为$y=w(x)$。

由性质可知$y=wz$总是原方程的一个解，因此方程便变为$z$的$n$阶线性方程。

我们知道$z$为常数是方程的一个解，因此$z$的这个常微分方程一定不含有$z$项，所以它实际上是一个$n-1$阶线性常微分方程，这样便使方程降了一阶。

例题

求解

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{6}{x^2}y=0$

方程的一个解为$y=x^2$，因此我们把$y=z{x}^2$代入方程，得到

$(x^2\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+4x\frac{dz}{dx}+2z)+\frac{2}{x}(x^2\frac{dz}{dx}+2xz)-\frac{6}{x^2}{x}^{2}z=0$

化简，得

$x^2\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+6x\frac{dz}{dx}=0$

这是一个$\frac{dz}{dx}$的一阶方程，解得

$z=C{x}^{-5}$，$y=C{x}^{-3}$

由于方程是线性的，两个解的线性组合便是通解，即

$y=C_1{x}^{-3}+C_2{x}^2$

常系数线性齐次常微分方程

假设我们有一个常微分方程

$(D^n+a_1{D}^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_0)y=0$

我们猜测有一个解为

$y=e^{px}$

这个函数$D^{n}y=p^{n}y$，因此方程变为

$(p^n+a_1{p}^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_0)y=0$

$y=0$显然是一个解，不考虑。我们只需研究

$p^n+a_1{p}^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_0=0$

这是原方程的特征方程。

这个方程可以有多达$n$个解$p_1,p_2,...,p_n$，每一个$p$都对应着原方程的一个解。

由于方程是线性的，$n$个解的线性组合便是通解，即

$y=C_1{e}^{p_{1}x}+C_2{e}^{p_{2}x}+...+C_n{e}^{p_{n}x}$

二阶

如果常微分方程是二阶

$D^{2}y+bDy+cy=0$

那么特征方程就是二次方程

$p^2+bp+c=0$

其根为

$p_{\pm }=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$

依$b^2-4c$的符号不同，我们有以下三种情况：

一、$b^2-4c>0$

此时方程有两个不同实根，我们可直接写出解

$y=C_1{e}^{p_{+}}+C_2{e}^{p_{-}}$

二、$b^2-4c<0$

此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中，但其实还有另一种更好的形式。

令$k^2=4c-b^2$，则解为

$y=C_{+}{e}^{ikx-\frac{bx}{2}}+C_{-}{e}^{-ikx-\frac{bx}{2}}$

这个表达式如果是实数，两个$C$必定共轭，即

$C_{\pm }=C{e}^{\pm ia}$

代入，得

$y=C{e}^{\frac{-bx}{2}}\cos (kx+c)$

三、$b^2-4c=0$

此时方程有两个相等的实根$p=-\frac{b}{2}$。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。

为此，我们使用常数变易法。用$p$表示$b$和$c$，待解方程变为

$D^{2}y-2pDy+p^{2}y=0$

从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是$y=e^{px}$，因此我们令$y=z{e}^{px}$，得到

$(e^{px}{D}^{2}z+2p{e}^{px}Dz+p^2{e}^{px}z)-2p(e^{px}Dz+p{e}^{px}z)+p^2{e}^{px}z=0$

所以$D^{2}z=0$，于是

$z=C_{1}x+C_2$，$y=(C_{1}x+C_2)e^{px}$

所以这第二个解就是第一个解乘$x$。

高阶方程的处理方法也是这样的。比如说，如果特征方程是这样的：

$(p-1{)}^4(p-3)(p^2+1{)}^2=0$

那么对应的常微分方程的通解就是

$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+C_4{x}^3)e^x+C_5{e}^{3x}+C_6\cos (x+c_1)+C_{7}x\cos (x+c_2)$

过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。