微积分学/中值定理

本节内容基于《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2节（Mean Value Theorem）翻译而来。

中值定理（mean value theorem）联系函数的平均变化率与瞬时变化率（导数）。

定义

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内处处连续，且在开区间$(a,b)$内处处可导，则在$(a,b)$内至少有一点${\displaystyle }$使得

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

上述定义中的两条前提条件不可舍去，否则便会产生反例，如下所示。

存在不可导点时的反例

对函数$f(x)=|x|$，若令$a<0$且$b>0$，则必有

$\begin{array}{cc}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}& =\frac{b+a}{b-a}\\ & <\frac{b}{b}\\ & =1\end{array}$

与

$\begin{array}{cc}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}& =\frac{b+a}{b-a}\\ & =-\frac{-a-b}{-a+b}\\ & >-\frac{-a}{-a}\\ & =-1\text{。}\end{array}$

然而，此函数在$ℝ$上的导函数却为

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-1& x<0\\ 1& x>0\end{array}$。

因此，相应的$c$值不存在。

存在不连续点时的反例

对函数$f(x)=\mathrm{sgn}(x)$，若令$a<0$且$b>0$，则必有

$\begin{array}{cc}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}& =\frac{2}{b-a}\\ & >0\text{。}\end{array}$

然而，此函数在$ℝ$上的导函数却为

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 0& x>0\end{array}$。

因此，相应的$c$值不存在。