微积分学/求和符号

Template:Calculus/Top Nav 求和符号使求和的表达式更简单紧凑。大写的希腊字母Σ被用来表示一组数字的总和。

例子

$\sum _{i=3}^7{i}^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2$

设$f$为函数，$M,N$为整数且$N<M$，则

$\sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)$

称$N$为下极限，$M$为上极限。

$i$也可以用别的字母代替，因此，我们称$i$为虚拟变量。所以

$\sum _{i=1}^{4}i=\sum _{j=1}^{4}j=\sum _{\alpha =1}^4\alpha =1+2+3+4$

通常我们使用字母$i$， $j$ ， $k$， $m$表示虚拟变量。

例子

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5$

本例中，虚拟变量为$i$，下极限为1，上极限为5。

例子

有时式中没有虚拟变量，比如说

$\sum _1^4{i}^3=100$

此时虚拟变量可从上下文得知。

常用结论

$\sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc,c\in ℝ$

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{i=1}^n{i}^3=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)}^2={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[\sum _{i=1}^t{a}_i\right]$Template:Calculus/Top Nav Template:Calculus/TOC